Теорема о четырех точках трапеции

Теорема Пифагора

Определение: Квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.

Доказательство: Проведем высоту BH из угла B к стороне AC. Δ подобен Δ по двум углам. Аналогично, Δ Δ . Отсюда:
. Теорема доказана.

Билет 36.

Теорема синусов

Определение: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство: Пусть дан треугольник со сторонами , и . Его площадь можно найти по формуле: . Из первых двух выражений получаем: . Отсюда, . Аналогично,
. Следовательно, . Теорема доказана.

Билет 37.

Теорема косинусов

(2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

, или .Аналогично,
, и .

Билет 38.

Окружность Аполлония –геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек – величина постоянная.

Пусть на плоскости даны две точки и . Рассмотрим все точки этой плоскости, до каждой из которых . При эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ; в остальных случаях указанное геометрическое место – окружность, называемая окружностью Аполлония.

Свойства окружности Апполония

1) Радиус окружности Апполония равен .

2) Отрезок между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой является биссектрисой самого угла или угла, смежного с ним.

Билет 39.

Теорема Чевы

Определение: В произвольном треугольнике на сторонах , , взяты соответственно точки , , , тогда выполняются следующие два равносильных утверждения:

а) прямые , , пересекаются в некоторой точке треугольника ;

Доказательство: Доказать теорему Чевы проще всего, заменив от­ношения отрезков в условии Чевы на отношение площадей:

Следовательно,

Точно так же получим, что

Теперь осталось только перемножить эти три равенства:

.

Обратная теорема Чевы

Пусть и пересекаются в точке . Пусть прямая пересекает сторону треугольника в точке . Для точек , , выполняется условие Чевы.

Билет 40.

Построение касательной к окружности

Касательную из точки к окружности можно провести следующим образом:

1. На отрезке как на диаметре строят окружность радиуса ;

2. Точки и пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;

3. Отрезки и определяют положение касательных и проведенных из точки к окружности.

Билет 41.

Выражение координат середины отрезка через координаты его концов

Билет 42.

Радиус вписанной в треугольник и описанной вокруг него окружности

Исходя из формулы получаем .

Радиус описанной окружности *

*Примечание: к сожалению, эксперты Волшебной Формулы не смогли найти доказательство данной теоремы.

Билет 43.

Вывод формулы окружности

Выведем формулу окружностью с радиусом и центром . Расстояние от точки до произвольной точки всегда можно найти по формуле . Если лежит на данной окружности, то , или . Отсюда . В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имело бы вид .

Билет 44.

Правильный многоугольник – такой многоугольник, стороны которого равны.

Построение квадрата

Построим на плоскости окружность и проведем ее диаметр. Затем построим другой диаметр, перпендикулярный** предыдущему. Соединив точки пересечения диаметра, мы получаем квадрат. Для того чтобы получить квадрат со стороной , нужно строить окружность с диаметром .

** см. Билет 28.

Схема построения квадрата:

Построение правильного шестиугольника со стороной

Построим окружность с радиусом . Затем, возьмем любую точку лежащую на данной окружности, и построим другую окружность того же радиуса с центром в этой точке. Затем построим другую окружность того же радиуса в центре с точкой пересечения предыдущей окружности с первой окружностью. Подобно тому, как мы строили эту окружность, построим еще три таких же. Соединив точки пересечения получившихся окружностей с исходной, получаем правильный шестиугольник.

Схема построения правильного шестиугольника:

Билет 45.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: