Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Признаки равенства прямоугольных треугольников





См. Билет 6.

Примечание: при доказательстве признаков равенства прямоугольных треугольников следует принимать во внимание, что один прямой угол у них итак равен.


Билет 17.

Признаки параллелограмма

I.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство: Пусть – данный четырехугольник, – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.
Δ Δ по первому признаку равенства треугольников ( по условию теоремы, , как вертикальные углы). Следовательно, . А они являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По признаку параллельности прямых прямые и параллельны. Так же доказываем, что и тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.

II.

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство: Пусть – данный четырехугольник. и .
Тогда Δ Δ по первому признаку равенства треугольников (, как внутренние накрест лежащие между прямыми и и секущей , по условию, – общая).
Следовательно, , а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По теореме признаке параллельности прямых и параллельны. Значит, – параллелограмм. Теорема доказана.

III.

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство: Пусть дан четырехугольник . и . Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников и . По теореме о сумме углов треугольника, получаем:
. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то и .
Углы и являются внутренними односторонними для прямых и и секущей , их сумма равна , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые и параллельны. Так же доказывается, что . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм по определению. Теорема доказана.


Билет 18.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEApn8w2sQA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESP3WrCQBSE7wu+w3KE3tVN0taf6CpWCIg3pZoHOGSP SXD3bMhuNb69WxB6OczMN8xqM1gjrtT71rGCdJKAIK6cbrlWUJ6KtzkIH5A1Gsek4E4eNuvRywpz 7W78Q9djqEWEsM9RQRNCl0vpq4Ys+onriKN3dr3FEGVfS93jLcKtkVmSTKXFluNCgx3tGqoux1+r 4MPf0/LwXXz59zKdzarMHApjlHodD9sliEBD+A8/23utIFt8wt+ZeATk+gEAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAKZ/MNrEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= "/>
Свойства параллелограмма

I.

В параллелограмме противоположные стороны равны.
Доказательство: Пусть – параллелограмм. Диагональ делит его на два треугольника: Δ и Δ . Эти треугольники равны по стороне и двум углам ( – общая, , – как накрест лежащие). Отсюда, . Теорема доказана.

II. В параллелограмме противоположные углы равны.
Доказательство: аналогично свойству I.

III.

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA+HJ5vsAA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPzYrCMBC+C/sOYRa8rWmrbKUaZVcoLF5E7QMMzdgW k0lpota33xwEjx/f/3o7WiPuNPjOsYJ0loAgrp3uuFFQncuvJQgfkDUax6TgSR62m4/JGgvtHnyk +yk0IoawL1BBG0JfSOnrliz6meuJI3dxg8UQ4dBIPeAjhlsjsyT5lhY7jg0t9rRrqb6eblbBwj/T an8of/28SvO8zsy+NEap6ef4swIRaAxv8cv9pxVkeVwbz8QjIDf/AAAA//8DAFBLAQItABQABgAI AAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFwZXhtbC54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA+HJ5vsAAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJzL2Rvd25y ZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIUDAAAAAA== "/>
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство: Пусть – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Δ Δ по стороне и двум углам ( как вертикал., , как накрест лежащие). Отсюда , , ч. т. д.

Билет 19.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство: Рассмотрим прямоугольник .
Δ Δ по двум катетам. Отсюда диагонали
Обратное утверждение (признак): Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Билет 20.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Особое свойство ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам.
Доказательство: Рассмотрим ромб , требуется доказать, что , и что диагонали ромба делят его углы пополам. Докажем, например, что . Т. к. , то Δ – равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то точкой пресечения его диагонали делятся пополам, значит – медиана равнобедренного треугольника , а значит его биссектриса и высота. Поэтому и .


Билет 21.

Теорема Менелая

Определение: Если точки , , лежат соответственно на сторонах , и треугольника Δ или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

Доказательство: Проведем через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой . Поскольку Δ подобен Δ (по двум углам), тогда . Так как подобными так же являются Δ и Δ , то . Выразив из второй формулы и подставив в первую, получаем: . Остается заметить, что возможны два расположения точек , и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем: , что и требовалось доказать.

Билет 22.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Обладает следующими свойствами:

1) Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

2) При проведении всех трех средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 0,5.

3) Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Обладает следующими свойствами:

1) средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

2) середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Билет 23.

Расстояние между двумя точками на плоскости

Определение:

Доказательство:

Расстояние между началом координат и заданной точкой:

Билет 24.

Окружностью называется геометрическое место точек,

равноудаленных от заданной.

Длина окружности:

Длина дуги окружности

Так как длина окружности равна , то длина дуги в равна . Отсюда дуги в градусов: .


Билет 25.







Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.