|
|
Признаки равенства прямоугольных треугольниковСм. Билет 6. Примечание: при доказательстве признаков равенства прямоугольных треугольников следует принимать во внимание, что один прямой угол у них итак равен. Билет 17.
I.
Доказательство: Пусть  – данный четырехугольник,  – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Δ  Δ  по первому признаку равенства треугольников ( по условию теоремы,  , как вертикальные углы). Следовательно,  . А они являются внутренними накрест лежащими для прямых  и  и секущей  . По признаку параллельности прямых прямые и параллельны. Так же доказываем, что  и  тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.
II.
Доказательство: Пусть – данный четырехугольник.  и  . Тогда Δ  Δ  по первому признаку равенства треугольников ( , как внутренние накрест лежащие между прямыми и и секущей  , по условию, – общая). Следовательно,  , а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых и  и секущей . По теореме признаке параллельности прямых и параллельны. Значит, – параллелограмм. Теорема доказана.
III.
.  и  . Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников  и  . По теореме о сумме углов треугольника, получаем: . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то  и  . Углы и  являются внутренними односторонними для прямых и  и секущей , их сумма равна  , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые и параллельны. Так же доказывается, что  . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм по определению. Теорема доказана.
Билет 18. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
I.
Доказательство: Пусть – параллелограмм. Диагональ  делит его на два треугольника: Δ  и Δ  . Эти треугольники равны по стороне и двум углам ( – общая,  ,  – как накрест лежащие). Отсюда,  . Теорема доказана.
II. В параллелограмме противоположные углы равны. III.
Доказательство: Пусть – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Δ  Δ  по стороне и двум углам ( как вертикал.,  ,  как накрест лежащие). Отсюда  ,  , ч. т. д.
Билет 19. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые
Доказательство: Рассмотрим прямоугольник . Δ  Δ по двум катетам. Отсюда диагонали  Обратное утверждение (признак): Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Билет 20. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Доказательство: Рассмотрим ромб  , требуется доказать, что  , и что диагонали ромба делят его углы пополам. Докажем, например, что  . Т. к.  , то Δ  – равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то точкой пресечения его диагонали делятся пополам, значит – медиана равнобедренного треугольника , а значит его биссектриса и высота. Поэтому и .
Теорема Менелая
 ,  ,  лежат соответственно на сторонах ,  и треугольника Δ  или на их продолжениях, то они лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  .
Доказательство: Проведем через точку Билет 22. Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Обладает следующими свойствами: 1) Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. 2) При проведении всех трех средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 0,5. 3) Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника. Средняя линия трапеции Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Обладает следующими свойствами: 1) средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме; 2) середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
Определение: Доказательство: Расстояние между началом координат и заданной точкой:
Билет 24. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от заданной. Длина окружности: Длина дуги окружности Так как длина окружности равна Билет 25.   Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
прямую, параллельную прямой 
точку пересечения этой прямой с прямой 
. Поскольку Δ 
подобен Δ 
(по двум углам), тогда 
. Так как подобными так же являются Δ 
и Δ 
, то 
из второй формулы и подставив в первую, получаем: 
. Остается заметить, что возможны два расположения точек 
равна 
. Отсюда дуги в 
градусов: 
.