|
Признаки равенства прямоугольных треугольниковСм. Билет 6. Примечание: при доказательстве признаков равенства прямоугольных треугольников следует принимать во внимание, что один прямой угол у них итак равен. Билет 17.
I. Доказательство: Пусть – данный четырехугольник, – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Δ Δ по первому признаку равенства треугольников ( по условию теоремы, , как вертикальные углы). Следовательно, . А они являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По признаку параллельности прямых прямые и параллельны. Так же доказываем, что и тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана. II. Доказательство: Пусть – данный четырехугольник. и . Тогда Δ Δ по первому признаку равенства треугольников (, как внутренние накрест лежащие между прямыми и и секущей , по условию, – общая). Следовательно, , а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей . По теореме признаке параллельности прямых и параллельны. Значит, – параллелограмм. Теорема доказана. III. . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то и . Углы и являются внутренними односторонними для прямых и и секущей , их сумма равна , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые и параллельны. Так же доказывается, что . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм по определению. Теорема доказана. Билет 18. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
I. Доказательство: Пусть – параллелограмм. Диагональ делит его на два треугольника: Δ и Δ . Эти треугольники равны по стороне и двум углам ( – общая, , – как накрест лежащие). Отсюда, . Теорема доказана. II. В параллелограмме противоположные углы равны. III. Доказательство: Пусть – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Δ Δ по стороне и двум углам ( как вертикал., , как накрест лежащие). Отсюда , , ч. т. д. Билет 19. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые
Доказательство: Рассмотрим прямоугольник . Δ Δ по двум катетам. Отсюда диагонали Обратное утверждение (признак): Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Билет 20. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Доказательство: Рассмотрим ромб , требуется доказать, что , и что диагонали ромба делят его углы пополам. Докажем, например, что . Т. к. , то Δ – равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то точкой пресечения его диагонали делятся пополам, значит – медиана равнобедренного треугольника , а значит его биссектриса и высота. Поэтому и .
Теорема Менелая Доказательство: Проведем через точку прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой . Поскольку Δ подобен Δ (по двум углам), тогда . Так как подобными так же являются Δ и Δ , то . Выразив из второй формулы и подставив в первую, получаем: . Остается заметить, что возможны два расположения точек , и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем: , что и требовалось доказать. Билет 22. Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Обладает следующими свойствами: 1) Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. 2) При проведении всех трех средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 0,5. 3) Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника. Средняя линия трапеции Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Обладает следующими свойствами: 1) средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме; 2) середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
Определение: Доказательство: Расстояние между началом координат и заданной точкой: Билет 24. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от заданной. Длина окружности: Длина дуги окружности Так как длина окружности равна , то длина дуги в равна . Отсюда дуги в градусов: . Билет 25. Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|