ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

Первый признак равенства треугольников

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Определение: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим Δ

и Δ

, у которого

. Так как

, то Δ

можно наложить на Δ

так, что вершина

совместится с вершиной

, а стороны

наложатся соответственно на лучи

. Поскольку

, то точка

совместится с точкой

, а точка

– с точкой

. Итак, Δ

и Δ

равны.

Второй признак равенства треугольников

Определение: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Рассмотрим Δ и Δ , где , и . Треугольники подобны по двум углам (, ). Более того, их коэффициент подобия , следовательно, они равны.

III

Третий признак равенства треугольников

Доказательство: Рассмотрим Δ и Δ такие, что , , а . Они подобны по третьему признаку подобия треугольников**. Так как стороны не только пропорциональны, но и равны, то коэффициент подобия . Следовательно, Δ и Δ равны.

** см. Билет 31.

Билет 7.

На чертеже:

– накрест лежащие;

– односторонние;

– соответственные.

Рис.7.1

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство: Пусть

, и секущая

, пересекающая их, образует накрест лежащие углы

. Проведем перпендикуляр из точки

к прямой

и из точки

к прямой

. Данные треугольники будут равны по углу и двум сторонам (

общ.), отсюда

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство: Обратимся к рис. 7.1. Докажем, что соответственные углы, к примеру, равны. Так как углы – вертикальные, то . Углы равны как накрест лежащие, следовательно, .

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, сумма односторонних углов равна .

Доказательство: Обратимся к рис. 7.1. Докажем, что сумма односторонних углов, к примеру, равна . Углы равны как накрест лежащие. Углы смежные, поэтому их сумма равна . Но , следовательно, , что и требовалось доказать.

Билет 8.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Площадь круга:

Площадь кругового сектора

Так как площадь круга равна , то площадь кругового сектора ограниченного дугой в равна . Отсюда площадь сектора, ограниченного дугой в градусов: .

Билет 9.

Нахождение значений , и

Пусть – равнобедренный прямоугольный треугольник.

Выразим гипотенузу через катеты по теореме Пифагора:

Т. к. синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, то:

Аналогично, .

Билет 10.

Вывод формулы площади треугольника

За основу возьмем формулу площади треугольника *.

Так как синус по определению – это отношение противолежащего

катета к гипотенузе, то

. Отсюда,

Подставив в исходную формулу, получаем:

иными словами, , что и требовалось доказать.

* см. Билет 32.

Билет 11.

Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу

(по теореме о сумме углов треугольника**)

** см. Билет 15.

Билет 12.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Определение: Сумма углов n-угольника равна

Доказательство: Пусть — данный выпуклый многоугольник, и . Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам диагонали: . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на треугольника: Δ Δ Δ . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть . Следовательно, сумма углов n-угольника равна . Теорема доказана.