Построение окружности описанной вокруг треугольника

Найдем середины хотя бы двух сторон треугольника***. Из точек, являющихся серединами этих сторон, проведем перпендикуляры**. Точка пересечения серединных перпендикуляров будет являться центром описанной окружности. Радиусом будет являться расстояние от этой точки до любой из вершин треугольника.

*** см. Билет 46.

I

II

III

Билет 31.

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Первый признак подобия треугольников

Определение: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Доказательство: Допустим, даны Δ и Δ такие, что . по теореме о сумме углов треугольника. Теперь найдем площадь первого треугольника: . Площадь второго треугольника можно найти по формуле . Но , значит и .
Тогда: . Аналогично, Отсюда, , значит, треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Определение: Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого и угол между этими

Доказательство: Пусть стороны и треугольника пропорциональны сторонам и треугольника . Преобразуем треугольник в подобный с коэффициентом подобия . Тогда у вновь полученного треугольника и треугольника будут две пары равных сторон и равны углы, заключенные между этими сторонами.
Треугольники и равны по признаку равенства

треугольников, исходные же треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Определение: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Доказательство: Пусть стороны треугольника пропорциональны сходственным сторонам треугольника . Преобразуем треугольник в подобный с коэффициентом подобия . Получившийся треугольник и Δ равны, из чего следует, что Δ подобен Δ .

Билет 32.

Вывод формулы площади треугольника .

Вывод формулы Герона

, где – угол, противолежащий стороне . По теореме косинусов: . Отсюда: . Значит:

Замечая, что , , , , получаем:

. Отсюда , ч. т. д.

Билет 33.

Вывод формулы площади параллелограмма

Пусть – данный параллелограмм. Опустим перпендикуляр на прямую . Тогда площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника .

Опустим перпендикуляр на прямую . Тогда площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника .

Треугольники и равны, значит, имеют равную площадь, отсюда следует, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника , значит, она равна , где – высота данного параллелограмма.

Вывод формулы площади параллелограмма

Пусть в данном произвольном параллелограмме диагонали равны и , а угол между ними – . Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то очевидно, что параллелограмм состоит из четырех треугольников со сторонами и . Площадь этого параллелограмма может быть вычислена как сумма площадей данных треугольников. Так как площадь прямоугольника равна , то площадь параллелограмма равна = , что и требовалось доказать.

Билет 34.

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.

Вывод формулы площади трапеции

Пусть – данная трапеция. Диагональ разбивает ее на два данных треугольника: и . Следовательно, площадь трапеции равна сумме их площадей. Высоты и этих треугольников равны расстоянию между параллельными прямыми и . Отсюда,

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: