МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

4.1. ОСНОВНАЯ ФОРМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ

Матрица решений

Принятие решения представляет собой выбор одного из не­которого множества рассматриваемых вариантов: . В дальнейшем мы будем изучать наиболее часто встречающийся на практике случаи когда имеется лишь конечное, число вариантов , причем обычно небольшое, хотя принципиально мыслимо и бесконечное множество вариантов При необходимости наше рассмотрение без труда переносится на этот наиболее общий случай.

Условимся прежде всего, что каждым вариантом E_i однозначно определяется некоторый результат е_i. Эти результаты должны допускать количественную оценку, и мы будем для простоты отождествлять эти оценки с соответствующими результатами, обозначая их одним и тем же символом е_i.

Мы ищем вариант с наибольшим значением результата, то есть целью нашего выбора является . При этом мы считаем, что оценки е_i характеризуют такие величины, как, например, выигрыш, полезность или надежность. Противоположную ситуацию с оценкой затрат или потерь можно исследовать точно так же путем минимизации оценки или, как это делается чаще, с помощью рассмотрения отрицательных величин полезности.

Таким образом, выбор оптимального варианта производит­ся с помощью критерия

(4.1)

Это правило выбора читается следующим образом: множество E ₀ оптимальных вариантов состоит из тех вариантов E_{i 0}, которые принадлежат множеству Е всех вариантов и оценка е_{i 0}которых максимальна среди всех оценок е_i (логический знак /\ читается как «и» и требует, чтобы оба связываемых им утверждения были истинны).

Выбор оптимального варианта в соответствии с критерием (4.1) не является, вообще говоря, однозначным, поскольку максимальный результат может достигаться в множестве всех результатов многократно. Необходимость выбирать одно из нескольких одинаково хороших решений на практике обычно не создает дополнительных трудностей. Поэтому в дальнейшем мы лишь упоминаем об этой возможности, не занимаясь ею более подробно.

Только что рассмотренный случай принятия решений, при котором каждому варианту решения соответствует единственное внешнее состояние (и тем самым однозначно определяется единственный результат) и который мы называем случаем де­терминированных решений, с точки зрения его практических применений является простейшим и весьма частным. Разумеется, такие элементарные структуры лежат в основании реальных процедур принятия решений. В более сложных структурах каждому допустимому варианту решения Е_i вследствие различных внешних условий могут соответствовать различные внешние условия (состояния) F, и результаты е_ij решений. Следующий пример иллюстрирует это положение.

Пусть из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решений таковы:

Е ₁ – выбор размеров из соображений максимальной долго­вечности, т. е. изготовление изделия с минимальными затратами в предположении, что материал будет сохранять свои характеристики в течение длительного времени;

Е_m – выбор размеров в предположении минимальной долго­вечности;

Е_i – промежуточные решения.

Условия, требующие рассмотрения, таковы:

F ₁ – условия, обеспечивающие максимальную долговечность;

F_n– условия, обеспечивающие минимальную долговечность;

F_j – промежуточные условия.

Под результатом решения е_ij здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Е_i и условиям F_j и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или надежность изделия. Мы будем называть такой результат полезностью решения.

Семейство решений описывается некоторой матрицей (табл. 4.1). Увеличение объема семейства по сравнению с рассмотренной выше ситуацией детерминированных решений свя­зано как с недостатком информации, так и с многообразием технических возможностей.

Конструктор и в этом случае старается выбрать решение с наилучшим результатом, но, так как ему неизвестно, с какими

Основная формальная структура принятия решений

Таблица 4.1.

Матрица решений || e_ij ||

условиями он столкнется, он вынужден принимать во внимание все оценки e_ij, соответствующие варианту Е_i. Первоначальная задача максимизации согласно критерию (4.1) должна быть теперь заменена другой, подходящим образом учитывающей все последствия любого из вариантов решения E_i.

Оценочная функция

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решения даже в том случае, когда каким-то вариантам решений E_i могут соответствовать различные условия F_j, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений || e_ir ||сводится к одному столбцу. Каждому варианту Ei приписывается, таким образом, некоторый результат e_ir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом e_ir.

Процедуру выбора можно теперь представить по аналогии с применением критерия (4.1). Возникает, однако, проблема, ка­кой вложить смысл в результат e_ir. Если, например, последствия каждого из альтернативных решений характеризовать комбинацией из его наибольшего и наименьшего результатов, то можно принять

. (4.2)

Из сказанного вытекает способ построения оценочных функ­ций, приводимый в табл. 4.2. Наилучший в этом смысле результат имеет вид

. (4.3)

Теперь решение можно снова искать в соответствии с критерием (4.1). Формируя таким образом желаемый результат, конструктор исходит из компромисса между оптимистическим и пессимистическим подходами.

Рассмотрим теперь некоторые: другие оценочные функции, которые в данном примере мог бы выбрать конструктор, а также соответствующие им исходные позиции.

Таблица 4.2.

Построение оценочных функций

Оптимистическая позиция:

. (4.4)

Из матрицы результатов решений е_ij (табл. 4.1) выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наибольший из всех возможных результатов. Наш конструктор становится на точку зрения азартного игрока. Он делает ставку на то, что. выпадет наивыгоднейший случай, и исходя из этого выбирает размеры изделия.

Позиция нейтралитета:

. (4.5)

Конструктор исходит из того, что все встречающиеся отклоне­ния результата решения от «среднего» случая допустимы, и вы­бирает размеры, оптимальные с этой точки зрения.

Пессимистическая позиция:

. (4.6)

Конструктор исходит из того, что надо ориентироваться на наименее благоприятный случай и приписывает каждому из аль­тернативных вариантов наихудший из возможных результатов. После этого он выбирает самый выгодный вариант, то есть ожидает наилучшего результата в наихудшем случае. Для каждого иного внешнего состояния результат может быть только равным этому или лучшим.

Позиция относительного пессимизма:

. (4.7)

Для каждого варианта решения конструктор оценивает потери в результате по сравнению с определенным по каждому варианту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихудших результатов выбирает наилучший согласно представленной оценочной функции.

Таблица 4.3.

Влияние вида оценочных функций на выбор размеров кабеля

Уравнение	Оценочная функция	Результат
(4.6)
(4.5)
(4.7)
(4.4)

Ряд таких оценочных функций можно было бы продолжить. Некоторые из них получили широкое распространение в хозяйственной деятельности. Так, если условия эксплуатации заранее не известны, ориентируются обычно на наименее благоприятную ситуацию. Это соответствует оценочной функции (4.6). Нередко используются также функции (4.6) и (4.7).

В табл. 4.3 показан пример выбора сечения А кабеля при неизвестной токовой нагрузке S с использованием всех четырех вышеназванных оценочных функций. Константа k здесь одна и та же для всех четырех случаев. Отметим, что результаты зависят только от S_макс и S_мин, т. е. от максимальной и минимальной токовых нагрузок.

Приведенные результаты существенно различаются. Они упорядочены таким образом, что влияние минимальной токовой нагрузки S_мин нарастает от строки к строке, т. е. получающиеся сечения становятся все меньше и меньше. Решение при этом становится все более оптимистичным. При этом выбор критерия определяется исключительно позицией конструктора. Поясним эти положения.

Влияние исходной позиции конструктора на эффективность результата решения можно интерпретировать, исходя из наглядных представлений. Простейшим здесь является графическое изображение на плоскости, для чего мы временно ограничимся случаем с двумя (п =2) внешними состояниями при т вариантах решения. Полезно, разумеется, чтобы мы уяснили для себя и, руководствуясь дальнейшими построениями, рассмотрели самостоятельно, как обобщается изложенное на случай большего, чем два, числа состояний, особенно на случай п =3,графически труднее представимый, но хорошо интерпретируемый в пространстве.

Введем теперь прямоугольную систему координат, откладывая по оси абсцисс значения результата решения е_{i 1}, соответствующие внешнему состоянию F₁ а по оси ординат – значения е_{i 2}, соответствующие состоянию F ₂, i= 1,..., т. В этом случае каждый вариант решения E_i, соответствует точке (e_{i 1}, e_{i 2} ), i= 1,... т, на плоскости. Точку с координатами мы назовем утопической точкой (УТ). Смысл этого названия в том, что координаты всех точек ,соответствующих вариантам решений не могут быть больше, чем у точки УТ, и что УТ встречается среди этих т точек только в том редком, идеальном случае, когда существу­ет вариант решения, дающий максимальный результат для каж­дого из (двух) возможных внешних состояний. Аналогичное значение имеет и так называемая антиутопическая точка (АУТ), имеющая координаты координаты всех точек , соответствующих вариантам решений , не могут быть меньше, чем у точки АУТ. Отсюда следует, что все m точек лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям, а противоположные вершины – точки УТ и АУТ;мы называем этот прямоугольник полем полезности решений (рис. 4.1).

Теперь, чтобы сравнить варианты решений с точки зрения их качества, назовем вариант E_i не худшим, чем вариант Е_j если для соответствующих точек и выполня­ются неравенства и . Причем E_i считается луч­шим, чем E_j, если хотя бы одно из этих двух неравенств явля­ется строгим.

Очевидно, что при таком определении не любые два вари­анта решений допускают сравнение в том смысле, что один из них оказывается лучше другого. (Может случиться, что для точек и , соответствующих вариантам E_i и E_j выполняются, например, неравенства и ). На математическом языке это означает, что на множестве вари­антов решений установлено так называемое отношение частич­ного порядка. Это отношение частичного порядка обладает ря­дом свойств, хорошо усматриваемых на рис. 4.1. Выберем в по­ле полезности произвольную точку, которую будем называть. рассматриваемой (РТ). С помощью прямых, параллельных ко­ординатным осям, разобьем плоскость на четыре части и обо­значим их I, II, III и IV. В рассматриваемом нами двумерном случае каждая из этих частей имеет вид (бесконечного) пря­моугольника; в случае произвольной размерности они превра­щаются в так называемые конусы.

Рассматривая положение точек поля полезности относитель­но этих четырех.конусов, можно в общем случае сказать сле­дующее. Все точки из конуса I в смысле введенного выше час­тичного порядка лучше, чем рассматриваемая точка РТ. По­этому мы называем конус I конусом предпочтения. Соответст­венно все точки из конуса III хуже точки РТ, и мы будем на­зывать область III антиконусом. Таким образом, оценка каче­ства точек из этих двух конусов в сравнении с точкой РТ прос­та и однозначна. Оценкаже точек в отмеченных штриховкой конусах II и IV является неопределенной, вследствие чего их называют областями неопределенности. Для этих точек оценка получается только с помощью выбранного критерия принятия решения. В случае m вариантов решений и п внешних состояний F_i,..., F_n критерий принятия решения можно представить в виде

или

.

Функция п переменных К. характеризует соответствующий кри­терий и задает одновременно оценочную функцию. Для анали­за критерия рассмотрим, полагая e_{i 1}= x ₁, еi 2 =х ₂,..., е_in=х_п, функцию К на всем n -мерном пространстве Rⁿ. Тогда каждому значению действительного параметра k посредством равенства

K (x ₁,..., x_п)= k

ставится в соответствие некоторая гиперповерхность в прост­ранстве Rⁿ, называемая нами поверхностью уровня, соответству­ющей значению k. В двумерном случае, интересующем нас вви­ду его наглядности, мы специально полагаем e_{i 1}= x ₁= u, и еi 2 =х ₂ =v, отождествляя тем самым е_{i 1}-ось с u -осью, а е_{i 2}-ось с v -осью, и с помощью равенства

K (u, v)= k.

Получаем в этом случае на плоскости (и, v) кривую, называе­мую линией уровня, соответствующей значению k. При фикси­рованном уровне k уравнение K (и,v) =k определяет функцио­нальную зависимость между переменными и и v, называемую функцией предпочтения; так же называют и соответствующую кривую на плос­кости (u, v).

Рассмотрим, например, оценочную функцию (4.5). При е_{i 1} =и и е_{i 2} =v получаем для т=2 семейство функций предпоч­тения, зависящих от параметра k:

(u + v)/ n = k.

При графическом изображении это выражение дает прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого квадрантов плоскости (и,v). Поскольку рассматриваемому критерию, в соответствии с которым путем оптимального выбора решения максимизируется среднее значение всех возможных результатов, отвечает нейтральная в известном смысле позиция прини­мающего решение, мы приписываем название «нейтральной» и соответствующей функции предпочтения (рис. 4.2). Выберем теперь на какой-либо линии уровня этого критерия произволь­ную точку РТ и проведем через нее «осевой крест», разбиваю­щий плоскость на описанные выше четыре квадранта – конус предпочтения, антиконус и конусы неопределенности.

Всякое техническое или экономическое решение в условиях неполной информации – сознательно или неосознанно – прини­мается в соответствии с какой-либо оценочной функцией опи­санного выше типа. Как только это бывает признано явно, следствия соответствующих решений становятся лучше обозри­мыми, что позволяет улучшить их качество. При этом выбор оценочных функций всегда должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимают­ся решения.

Таблица 4.4.

(m´2)-матрица решений

F E	F 1	F 2
E 1	E 11	E 12
E 2	E 21	E 22
E 3	E 31	E 32
. . .	. . .	. . .
Ei	ei 1	ei 2
. . .	. . .	. . .
Em	em 1	em 2

Таблица 2.5.

Фатальная ситуация в принятии решений

Особые случаи

Схематическое сопоставление всех возможных полезностей e_ij различных решений в матрице табл. 4.1 облегчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта мат­рица может быть меньшего объема (табл. 4.4) и даже выро­диться в единственный столбец, если будет представлена пол­ная информация о том, с каким внешним состоянием F_j следует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различ­ных технических решений. Матрица решений может, однако, свестись и к единственной строке (табл. 4.5). В этом случае мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией приня­тия решений, когда в силу ограничений технического характе­ра, внешних условий и других причин остается единственный вариант E_i, хотя его дальнейшие последствия зависят от внеш­него состояния F_j, и поэтому результат решения оказывается неизвестным.

Случается и так, что некоторый вариант решения, например E_k, оказывается настолько удачным, что для другого варианта E_l из матрицы решений выполняются неравенства е_kj ³ е_lj для j = 1,..., п. Тогда говорят, что вариант E_k доминирует над ва­риантом E_l. Вариант E_k в этом случае с самого начала оказы­вается лучшим, а вариант E_l, напротив, не представляет далее интереса. Более подробно понятие доминирования будет рас­смотрено в конце раздела 4.5.

Ради возможности графической интерпретации вернемся еще раз к решениям с двумя только внешними состояниями F ₁ и F ₂. Все варианты, доминирующие над точкой РТ, лежат на рис. 4.1 в конусе предпочтения (то есть в I квадранте), а вариан­ты, над которыми РТ доминирует, расположены в антиконусе (в III квадранте). Следовательно, для формального оценива­ния остаются точки из II и IV квадрантов, первоначально на­званных областями неопределенности. Этими областями мы займемся в следующей главе. В этих квадрантах будут найде­ны варианты, оптимальные в смысле различных критериев, и даны их количественные оценки. Для этого соответствующие функции предпочтения должны быть в обеих областях разум­ным образом упорядочены.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: