ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

Системы с n степенями свободы

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 18Следующая ⇒

Рассмотренные решения можно обобщить для случая ди- намической системы с n степенями свободы. Принципиальных затруднений при этом не возникает, но усложняется процесс вычислений.

Система дифференциальных уравнений движения системы имеет следующий вид:

å(mij & x & i + 2a ijx & i + cijxi) = fi (t)

i =1

(j = 1, 2,..., n), (3.31)

где при i = j mij = mj, а при i ¹ j mij = 0.

При исследовании колебаний системы с n степенями сво- боды возможно несколько характерных случаев действия сил. Наиболее простой из них – это случай, когда все силы изменя-

ются по времени одинаково, дисперсии же сил могут быть раз-

ными. Другим случаем является вариант разных

fi (t), но стати-

стически независимых между собой. Общим случаем и наиболее

сложным является вариант, когда все силы

fi (t)

различны

и между ними существует сильная статистическая взаимосвязь. При решении первых двух вариантов используется метод глав- ных координат [15, 17], который позволяет перейти от системы (3.31) к системе уравнений вида:

q &&

+ 2 n q &+ p 2 q = 1 F (t)

(k = 1, 2,..., n),

k k k k k k

где

pk – собственная частота колебаний;

qk (t) – главные коор-

динаты, связанные с исходными координатами соотношением

xi (t) = å qk (t) uik,

k =1

(3.32)

uik

– амплитудное смещение i -й массы при k -й форме собствен-

ных колебаний; Mk

– обобщенная масса системы при k- й форме

собственных колебаний,

k =å mi (uik

i =1

)2;

(3.33)

Fk – обобщенная сила,

Fk (t) = å fk (t) uik.

i =1

(3.34)

Определение вероятностных характеристик решения урав- нений (3.31) было рассмотрено ранее, следовательно, используя связь (3.32), можно найти вероятностные характеристики ис- ходной системы.

Пример 3.4. Рассмотрим балку с двумя сосредоточенными

массами. На массу

m 2 (m 2 = m 1 = m), расположенную на расстоя-

нии 2 l от заделки, внезапно подействовала случайная сила

f (t) = f 0 H (t), где

H (t) – функция Хевисайда (рис. 3.7). Вероят-

ностные характеристики случайной силы

f 0 известны (mf,

D).

Рис. 3.7

Определить математическое ожидание и дисперсию макси- мального нормального напряжения в заделке.

Решение. Уравнения колебаний:

& y &1= d11(- m 1& y &1) + d12(- m 2& y &2) + d12 f 0 H (t);

& y &2= d21(- m 1& y &1) + d22(- m 2& y &2) + d22 f 0 H (t).

Определим коэффициенты влияния:

(3.35)

d11 =

l 3

;

3 EI

5 l 3

d =

12 6 EI;

8 l 3

d =

22 3 EI.

Найдем собственные частоты колебаний системы:

p 1 = 0,585; p 2 = 3,881.

Собственные формы колебаний:

u 1 = (u 11; u 21) = (1; 3,132); u 2 = (u 12; u 22) = (1; -0,319).

Перейдем к главным координатам по формуле (3.32):

y 1 = u 11 q 1 + u 12 q 2;

y 2 = u 21 q 1+ u 22 q 2,

(3.36)

где qk

– главные координаты; uik

– смещение i -й массы при k -й

форме собственных колебаний.

Уравнения движения системы (3.35) с учетом (3.33) и (3.34)

в главных координатах примут вид:

å uj 1 fj

(1 + 3,132) f H (t) 0,382 f

q &&

+ p 2 q =

j =1 =

0 = 0 H (t);

1 1 1 2

m (1 + 3,1322) m

å uj 1 mj

j =1

å uj 2 fj

(1 - 0,319) f H (t) 0, 618 f

q &&

+ p 2 q

= j =1 =

0 = 0 H (t).

2 2 2 2

m (1 + 0,3192) m

å uj 2 mj

j =1

Решая полученные уравнения при нулевых начальных ус- ловиях, получим:

q = 0,382 f 0 (1 - cos p t); q = 0, 618 f 0 (1 - cos p t).

1 mp 2

1 2 mp 2 2

Определяем перемещения масс при колебаниях:

y (t) = 0,382 f 0 (1 - cos p t) + 0, 618 f 0 (1 - p t);

1 mp 2

1 mp 2 2

1 2

y (t) = 1,196 f 0 (1 - cos p t) - 0,191 f 0 (1 - p t).

2 mp 2

1 mp 2 2

1 2

Изгибающий момент в заделке:

M = l (- m 1& y &1) + 2 l (- m 2& y &2+ f 0) =

= f 0 l (2, 774cos p 1 t + 0, 236 cos p 2 t + 2) º F (t) f 0.

Максимальное напряжение в заделке s = M

= F (t) f.

max

Wx Wx

Математическое ожидание и дисперсия этого напряжения:

F (t) F 2 (t)

m =

max

m; D = D.

0 max 0

Считая, что

smax

распределено по нормальному закону, на-

ходим максимально возможное напряжение в заделке:

max(s

) = F (t)

+ 3s).

max (m f

Пример 3.5. Рассмотрим ту же балку с двумя сосредоточен-

ными массами. На массы m 1

ствовали случайные силы

и m 2 f 1 (t) и

(m 2 = m 1 = m) внезапно подей-

f 2 (t) (рис. 3.8). Определить

математическое ожидание и дисперсию смещения каждой из

масс, если известны вероятностные характеристики внешних сил.

Рис. 3.8

Решение. Уравнения движения масс:

& y &1= d11(- m 1& y &1) + d12(- m 2& y &2) + d12 f 1(t);

& y &2= d21(- m 1& y &1) + d22(- m 2& y &2) + d22 f 2(t).

(3.37)

Рассмотрим различные варианты действия внешних сил.

1. Пусть внешние силы одинаково изменяются во времени, но отличаются дисперсиями, т.е.

fi (t) = Fi (0) f (t) (i = 1, 2),

где

Fi (0) – стандарт силы

fi (t);

f (t) – стационарная случайная

функция времени.

Здесь, как и в предыдущей задаче, удобно использовать ме- тод главных координат. Переходя к уравнениям движения сис- темы в главных координатах, получим:

q &&

+ p 2 q

å uj 1 f j

= j =1

= u 11 f 1 (t) + u 21 f 2

(t) =

1 1 1 2

m (1 + u 2)

å uj 1 mj 21

j =1

= F 1 (0) + 3,132 F 2 (0) f (t) º R f (t);

m (1 + 3,1322) 1

q &&

+ p 2 q

å uj 2 f 1

= j =1

= u 12 f 1 (t) + u 22 f 2

(t) =

12 2 2 2

m (1 + u 2)

å uj 2 mj 22

j =1

= F 1 (0) - 0,319 F 2 (0) f (t) º R f (t).

m (1 + 0,3192) 2

Для определения коэффициента передачи k -й формы в ста-

ционарном режиме положим

f (t) = e i w t,

а q (t) = H (i w)e i w t.

k k

Поскольку силы трения в задаче отсутствуют, то матрица передаточных коэффициентов имеет диагональный вид:

Hk (i w) =

Rk.

p 2 - w2

Перемещение масс при колебаниях (3.36)

y (t) = å

uik Rk

e i w t =å

uik Rk

f (t).

i (p 2 - w2) (p 2 - w2)

k =1 k k =1 k

Из полученного соотношения следует, что коэффициент

передачи для координаты yi

Hyi

(i w) = å

k =1

uik Rk. (p 2 - w2)

Далее получим вероятностные характеристики смещения:

2 u R

2 1 ¥ u 2 R 2 S

(w) d w

myi

= mf

ik k;

(p 2 - w2)

Dyi

=å2p ò

ik k f,

(p 2 - w2)2

k =1 k k =1 -¥ k

где S f (w) – спектральная плотность действующих внешних сил.

Рассмотренная система является узкополосным фильтром, который пропускает в основном составляющие с частотами,

близкими к

pk, а потому можно принять, что спектральная

плотность в пределах полос пропускания системы постоянна (рис. 3.9). Предполагая, что спектральная плотность внешних сил не имеет острых пиков и разрывов, для дисперсии переме- щения масс получим:

2 S (p) u 2 R 2 ¥ d w

D =å f k ik k.

yi 2p ò(p 2 - w2)2

k =1

-¥ k

Рис. 3.9

2. Рассмотрим теперь случай, когда действуют различные случайные силы, статистически независимые между собой.

Можно использовать два метода решения.

Метод главных координат. Представляя действующие си-

лы в виде

fi (t) = Fi (0) f 0 i (t),

перейдем, как и прежде, от уравне-

ний (3.31) к уравнениям в главных координатах:

q &&

+ p q

k k k

å ujk f j j =1

å u m

jk j

= Fk (t) (k = 1,2).

j =1

Корреляционная функция суммы случайных некоррелиро- ванных функций равна сумме корреляционных функций, следо- вательно, можно определить спектральные плотности обобщен- ных сил через известные плотности заданных сил. Дальнейший ход решения подобен изложенному выше.

Метод интегрального представления случайных функций [20].

Будем полагать, что действующие на систему силы стацио- нарны и их можно представить в виде интеграла Фурье:

fk (t) =