Каноническое разложение случайной функции

Непосредственное использование связей (2.8) часто встре- чает значительные вычислительные трудности. Двойное преоб- разование корреляционной функции в ряде случаев (корреляци- онная функция из опыта не имеет аналитического выражения и задана таблично, или интеграл не выражается через известные функции и т.д.) приводит к чрезвычайно сложным и громоздким операциям, что затрудняет практическое применение этих опе- раций. Поэтому на практике часто используют другие методы, например метод канонических разложений.

Идея метода состоит в том, что случайная функция, над ко- торой нужно произвести те или иные преобразования, предвари- тельно представляется в виде так называемых элементарных слу- чайных функций. Элементарной же называется функция вида

X (t) = V j(t),

(2.14)

где V – обычная случайная величина; j(t) – обычная (неслучай-

ная) функция. Тогда

L (X (t)) = VL (j(t)).

Таким образом, задача преобразования случайной функции сводится к простой задаче преобразования неслучайной функ- ции j(t).

Допустим, что удалось (точно или приближенно) предста- вить случайную функцию в виде

X (t) = mx (t) + å Vi j i (t),

i =1

(2.15)

где Vi

– случайные величины с математическим ожиданием,

равным нулю;

j i (t) – неслучайная функция;

mx (t) – математи-

ческое ожидание функции X (t).

Такое представление случайной функции (в форме (2.15))

называют каноническим разложением: случайные величины

V 1, V 2,..., Vm

– коэффициенты разложения, а функции

j1 (t),

j2 (t),..., j m (t) – координатные функции.

В случае линейного преобразования функции (2.15) будем иметь:

L (X (t)) = L (mx (t)) + å ViL (j i (t)).

i =1

(2.16)

Это означает, что в данном случае (в отличие от (2.8)) пре- образуется только один раз каждая из неслучайных функций

j i (t). Корреляционный момент центрированной функции (2.15)

Kx (t 1, t 2) = å M (ViVj)j i (t 1)j j (t 2).

i, j

Если i = j, то

M (ViVi) = Kii = Di, а если i ¹ j, то

M (ViVj) = Kij, следовательно,

Kx (t 1, t 2) = åj i (t 1)j i (t 2) Di + åj i (t 1)j j (t 2) Kij,

(2.17)

i =1 i ¹ j

где Di

– дисперсия случайной величины Vi;

Kij

– корреляци-

онный момент случайных величин Vi, Vj.

Если

Vi (t) – некоррелированные случайные величины, то

каноническое разложение корреляционной функции

Kx (t 1, t 2) = åj i (t 1)j i (t 2) Di.

i =1

Полагая t 1 = t 2, получим дисперсию случайной функции:

i =1

(2.18)

Таким образом, зная каноническое разложение случайной

функции X (t), можно сразу найти каноническое разложение ее

корреляционной функции. Можно доказать, что обратное положе- ние тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разло- жение корреляционной функции (2.16), то для случайной функции X (t) справедливо каноническое разложение вида (2.14) с коорди-

натными функциями

j i (t) и коэффициентами Vi

с дисперсиями

Di. Мы примем это положение без специального доказательства.

Пример 2.5. Балка произ- вольного поперечного сече- ния, имеющая постоянную изгибную жесткость, нагру- жена случайной нагрузкой q (рис. 2.5). Определить вероят- ностные характеристики на- пряженного состояния балки.

Рис. 2.5

Решение. Представим случайную нагрузку на отрезке

0 £ x £ l / 2

в виде элементарной функции вида (2.14):

q (x) = V j(x) = 2 q 0 x / l,

где V = q 0

– случайная величина;

j(x)

– неслучайная функция,

j(x) = 2 x / l.

Тогда для решения можно использовать квазистатический подход. Приведем решение задачи методами сопротивления ма- териалов в детерминированной постановке. Сама конструкция

и ее нагружение и закрепление симметричны, поэтому доста- точно рассмотреть отрезок 0 £ x £ l / 2. Изгибающий момент и напряжение найдем по формулам:

æ l x 3ö q æ l x 3ö

M (x) = q ç x - ÷; s(x) = 0 ç x - ÷.

0 è4 3 l ø

Wx è4 3 l ø

Используя каноническое представление случайной функ- ции s(x), можно определить ее математическое ожидание:

mq æ l x 3 ö

m s(x) = 0 ç x - ÷,

Wx è4 3 l ø

– известное (заданное) значение случайной величины.

Корреляционная функция напряжения

K (x, x) =

1 æ l

x 3 öæ l

- 1 ֍ x

x 3 ö

2 ÷ D.

s 1 2

W 2 è4 1

3 l øè4

2 3 l ø q 0

Находим математическое ожидание и дисперсию макси- мального напряжения:

m l 2

æ l 2 ö2

max

= q 0;

12 W

D

=ç12 W ÷ D 0.

Число членов канонического разложения случайной функ- ции может быть не только конечным, но и бесконечным. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом.

Канонические разложения применяются не только для дей- ствительных, но и для комплексных случайных функций. Рас- смотрим обобщение понятия канонического разложения на слу- чай комплексной случайной функции.

Элементарной комплексной случайной функцией называет- ся функция вида:

X (t) = V j(t),

где случайная величина V и функция j(t) комплексные.

(2.19)

Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции (2.19). Пользуясь общим определением корреляционной функции комплексной случайной функции, имеем:

K (t, t) = M éë V j(t) V j(t)ùû= j(t)j(t) M é V 2ù,

(2.20)

x 1 2 1 2 1 2 ë û

где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина.

Но M é V 2 ù

есть не что иное, как дисперсия комплексной

ë û

случайной величины V, следовательно,

Kx (t 1, t 2) = j(t 1)j(t 2) D.

(2.21)

Каноническим разложением комплексной случайной функ- ции называется ее представление в виде:

X (t) = mx (t) + å Vi j i (t),

i =1

(2.22)

где V 1, V 2,..., Vm

– некоррелированные комплексные случайные ве-

личины с математическими ожиданиями, равными нулю;

j1 (t), j2 (t),..., j m (t) – комплексные неслучайные функции.

mx (t),

Если комплексная случайная функция представлена кано- ническим разложением (2.22), то ее корреляционная функция выражается формулой

где

m

i =1

D – дисперсия величины V, D = M é V 2 ù.

(2.23)

i i i

ë i û

Выражение (2.23) называется каноническим разложением корреляционной функции комплексной случайной функции.

Полагая в (2.23) t 1 = t 2, получим выражение для дисперсии ком- плексной случайной функции, заданной разложением (2.22):

(2.24)

x i i

i =1

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: