Системы с одной степенью свободы

Рассмотрим некоторые методы решения задач о вынужден- ных колебаниях линейных систем на простейшем примере сис- темы с одной степенью свободы, колебания которой происходят

в результате действия случайной нагрузки движения такой системы

f (t).

Уравнение

& x &+ 2 nx &+ p 2 x = 1

f (t),

(3.12)

где

p 2 = c;

2 n = a

(при этом

m

a = 2

– критический ко-

0 m m кр

эффициент сопротивления).

Первый способ решения состоит в использовании частного случая метода функций Грина – метода импульсных переход- ных функций. Для этого предполагаем, что в некоторый момент времени t на систему действует единичный импульс, после чего развиваются колебания. Это означает, что необходимо найти решение задачи о свободных колебаниях при граничных усло-

виях: при t = t; x (t) = 0; x &= m. Это решение имеет вид:

где p =

x (t) = h (t) =

1 e- n (t -t) sin p (t - t),

mp

(3.13)

Определяемую при этом функцию h (t) (рис. 3.3) называют

импульсной переходной функцией, ибо она представляет собой реакцию предварительно невозбужденной системы на единич- ный мгновенный импульс. Очевидно, что реакция системы бу- дет зависеть еще и от времени приложения импульса t, а поэто- му импульсная функция зависит от двух временных перемен- ных, т.е. h (t, t).

Рис. 3.3

Будем считать, что процесс на входе действует из беско- нечно далекого прошлого (это означает, что можно не учиты-

вать начальные условия). Тогда, воспользовавшись интегралом

Дюамеля и функцией

h (t, t), можно записать решение уравне-

ния (3.13) в следующем виде:

t

x (t) = ò f (t) h (t, t) d t.

(3.14)

Особый интерес представляют стационарные системы. Для таких систем импульсная функция зависит явно только от раз- ности (t -t), а формула (3.14) переписывается следующим об- разом:

t

x (t) = ò f (t) h (t - t) d t.

(3.15)

Импульсная переходная функция зависит только от дина- мических свойств системы и не зависит от характера воздейст- вия, а потому исчерпывающе характеризует динамическую сис- тему. Зная вероятностные характеристики входа (математиче-

ское ожидание

mf (t) и корреляционную функцию

K f (t 1, t 2)),

можно определить по соотношениям (2.7) и (2.8) вероятностные характеристики выхода:

t

mx (t) = ò mf (t) h (t, t) d t,

t 1 t 2

Kx (t 1, t 2) = òò h (t 1, t1) h (t 2, t2) K f (t1, t2) d t1 d t2.

0 0

Если система является стационарной, то приходим к фор- мулам:

t

mx (t) = ò mf (t) h (t - t) d t,

(3.16)

t 1 t 2

Kx (t 1, t 2) = òò h (t 1 - t1) h (t 2 - t2) K f (t1, t2) d t1 d t2.

0 0

Учитывая конкретный вид импульсной функции (3.13), по- лучим:

mx (t) =

m (t)e n (t) sin p (t - t) d t,

mp 0

t 1 t 2

Kx (t 1, t 2) =

1 ´

m 2 p 2

òò 1 1 2 2

f 1 2 1 2

´ e- n (t 1-t1)e- n (t 2-t2) sin p (t

0 0

-t)sin(t

-t) K

(t, t) d t d t.

Если, наконец, внешнее воздействие является стационар- ным случайным процессом, тогда и поведение стационарной системы будет стационарным случайным процессом. Корреля- ционная функция в этом случае инвариантна относительно сдвига начального момента времени, а потому:

K f (t 1, t 2) = K f (t 1 - t 2); Kx (t 1, t 2) = Kx (t 1 - t 2).

Сделаем замену переменных:

t 2 - t 1 = t;

Тогда с учетом (3.16)

t 1 - t1 = j1;

t 2 - t2 = j2.

или

¥¥

Kx (t) = òò h (j1) h (j2) K f (t + j1 - j2) d j1 d j2,

0 0

(3.17)

- j -j

Kx (t) =

p 2 òò

1 2 f

1 2 1 2

= e n (1 2) sin p j sin p j K

0 0

(t+j-j) d j d j. (3.18)

Пусть для системы, движение которой описывается урав- нением (3.15), корреляционная функция внешнего воздействия имеет вид

где

K 0 – постоянная.

K f = K 0d(t),

(3.19)

Такое внешнее воздействие называется дельта-коррелиро- ванным и характеризует предельно широкополосный случайный процесс (белый шум), спектральная плотность мощности кото- рого сохраняет постоянное значение на всех частотах. Таким образом, белый шум характеризуется тем, что его значения в любые два, даже сколь угодно близкие, момента времени не- коррелированны. Следует отметить, что понятие белого шума относится только к спектральной картине случайного процесса и оставляет совершенно открытым вопрос о законах распреде- ления. Точнее говоря, распределения вероятностей белого шума в обычном смысле не существует. Белый шум является идеали- зацией (математической моделью), не реализуемой в действи- тельных условиях, так как, во-первых, достаточно близкие зна- чения случайного процесса практически всегда зависимы и, во- вторых, реальные процессы имеют конечную мощность, а пол- ная мощность белого шума бесконечна. Однако использование белого шума в качестве модели процессов на входе значительно упрощает математический анализ и не вносит сколько-нибудь существенных погрешностей.

Подставляя (3.19) в (3.18), получим:

Kx (t) = p 2

òe 2 n

sin p j×sin p (t + j) d j,

(3.20)

а после вычисления интеграла будем иметь:

K e- n t æ

K (t) = 0 çcos p t +

n sin p t ö.

p 2 ø

Другим способом отыскания решения является метод спек- тральных представлений. Как и прежде, ограничимся рассмот-

рением участков времени, достаточно удаленных от начала про- цесса, когда все переходные процессы в системе можно считать законченными и система работает в установившемся режиме.

В случае, когда воздействие f (t) представляет собой дос-

таточно простую аналитическую функцию, часто удается найти реакцию системы также в виде простой аналитической функции. В частности, когда воздействие представляет собой гармониче- ское колебание определенной частоты, система отвечает на него также гармоническим колебанием той же частоты, но изменен- ным по амплитуде и фазе.

Поскольку координатные функции спектрального разложе-

ния стационарной случайной функции f (t) представляют собой

гармонические колебания заданной частоты w, то задача реша- ется очень просто, особенно если гармоническое колебание представлено в комплексной форме.

Пусть на вход системы (3.12) поступает гармоническое ко- лебание вида

f (t) = A e st. (3.21)

Тогда решение уравнения (3.12) можно записать в виде

x (t) = B e st.

Отношение выхода системы к ее входу

H (s) = B

A

называется передаточной функцией.

Соотношение (3.21) может соответствовать нескольким ви- дам возмущения в зависимости от значений А и s. Например:

f (t) = a cos(w t + j), если

f (t) = Re(A e st),

A = a e i j,

s = i w,

A e st = a (cosj + i sin j)(cosw t + i sin w t);

f (t) = a e- nt cos(w t + j),

s = - n + i w;

если

f (t) = Re(A e st),

A = a e i j,

f (t) = a e- nt,

если s = –n;

f (t) = A = const, если s = 0.

Если (3.21) подставить в уравнение движения (3.12), то можно найти выражение для передаточной функции:

H (s) =

1.

(3.22)

Передаточная функция для простого гармонического коле- бания с частотой w называется частотной характеристикой и получается подстановкой s = i w в H (s):

H (i w) =

1.

(3.23)

Модуль Н называют амплитудно-частотной характеристи- кой. В частности, если f (t) = A sin w t, то x (t) = B sin(w t – g), здесь

B = A

, tgg =

2 A w.

Таким образом, если, например, на вход линейной системы с постоянными параметрами поступает гармоническое колеба- ние вида e i w t, то реакция системы представляется в виде того же гармонического колебания, умноженного на частотную характе- ристику системы H (i w).

Пусть на вход системы поступает сила, спектральное раз- ложение которой можно представить в виде:

¥

(3.24)

k =-¥

где U_k – некоррелированные случайные величины, дисперсия

Dk которых образует спектр случайной функции

f (t). В силу

линейности системы величина U_k выходит за знак оператора, и реакцию системы на воздействие (3.24) можно представить в виде спектрального разложения:

¥ ¥

(3.25)

k =-¥ k =-¥

Найдем дисперсию комплексной случайной величины Wk:

D (W) = M é U H (i w) 2 ù=

k ë k k û

= M é U 2 H (i w) 2 ù= H (i w) 2 D.

(3.26)

ë k k û k k

Таким образом, при преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой каждая из ординат ее спектра умножается на квадрат модуля частотной характеристики системы для соответствующей частоты, т.е. при прохождении ста- ционарной случайной функции через линейную стационарную систему ее спектр определенным образом перестраивается: неко- торые частоты усиливаются, некоторые, напротив, ослабляются (фильтруются). Квадрат модуля частотной характеристики (в зави- симости от w k) и показывает, как реагирует система на колебания той или иной частоты. Очевидно, что спектральная плотность на выходе линейной системы получается из спектральной плотности

на входе тем же умножением на

H (i w) 2:

(3.27)

Таким образом, получили весьма простое правило: при пре- образовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой ее спектральная плотность умножается на квадрат модуля частотной характеристики системы. Дисперсия случайной величины на выходе находится по формуле (2.28):

¥

-¥

H (i w) 2 S

(w) d w.

(3.28)

Квадрат модуля частотной характеристики обладает весьма важным для практических расчетов свойством [15], которое за- ключается в том, что если затухание системы мало (мало сла-

гаемое 2 in w в (3.23)), то величина

H (i w) 2

претерпевает значи-

тельные изменения только вблизи w = p 0, а на остальных частях

оси w эта величина мало отли- чается от нуля (рис. 3.4). Такие системы называются системами с высокими фильтрующими свойствами или узкополосными системами, которые пропуска- ют главным образом состав- ляющие спектра внешнего воз- действия с частотами, близкими к собственной частоте колеба- ний (резонансный режим).

Рис. 3.4

Свойством узкополосности пользуются довольно часто, так как оно позволяет значительно упростить расчетные фор- мулы, не внося при этом погрешностей, имеющих практиче- ское значение.

Ширину полосы пропускания системы

Dw,

или, как еще

говорят, эффективную полосу пропускания системы, можно вы-

числить, разделив площадь под графиком

¥

H (i w) 2, равную

ò H (i w) 2 d w, на значение

H (i w) 2

при w= p 0:

¥

ò H (i w) 2 d w

Dw = 0.

Конструкции из металлов и даже из железобетона являются системами с высокими фильтрующими свойствами (узкополос- ными), поэтому многие машиностроительные конструкции мо- гут быть отнесены к узкополосным динамическим системам.

Для рассматриваемого случая

H (i w) 2 =

1.

(3.29)

Подставляя (3.29) и соотношение (3.27) в формулу (3.28),

получим дисперсию перемещения:

x x 2p m 2

¥

ò(w2 - p 2)2 + (2 n w)2

D = s2 =

-¥ 0

. (3.30)

Если воспользоваться свойством узкополосности системы

и считать, что спектральная плотность

S f (w)

– спокойная

функция, не имеющая разрывов и очень резких максимумов

вблизи

p 0, то произведение

H (i w) 2 S (w), входящее под знак

только вблизи

w = p 0. Поэтому, если пренебречь изменением

спектральной плотности воздействия в пределах полосы про- пускания (см. рис. 3.4) и принять ее равной значению на частоте

w= p 0, то формула (3.30) примет вид:

¥

D = s2 =

H (i w) 2 d w.

-¥

В качестве примера рассмотрим движение транспорта по неровной дороге. Нет надобности доказывать, что неровности всех видов автомобильных и железных дорог носят случайный характер. Поэтому все задачи определения транспортных нагру- зок опираются на теорию случайных процессов.

Пример 3.3 [21].

Рассмотрим случайные поперечные колебания прицепа (рис. 3.5, а) массой m при движении его со скоростью v по доро- ге, характеризующейся заданной спектральной функцией не- ровностей. Будем считать, что точка крепления прицепа к авто- мобилю (точка О), находящаяся на расстоянии l от его центра тяжести, не имеет вертикальных перемещений, жесткость шин весьма велика по сравнению с жесткостью рессор с. Момент инерции массы прицепа относительно точки О равен J ₀. В рес-

сорах возникает вязкое трение с коэффициентом трения a. Массой колес прицепа по сравнению с массой m можно пренеб- речь. При решении будем считать, что в результате статистиче- ских исследований получена спектральная плотность воздейст- вия дороги на систему:

Sh (w) =

av,

(w2 + bv 2)2p

где v – скорость движения; a, b – характеристики спектральной функции профиля дороги.

Рис. 3.5

Определить среднеквадратичное отклонение угла колеба- ний и угловой скорости колебаний прицепа в зависимости от скорости движения. Провести анализ зависимости среднеквад- ратичного отклонения угла колебаний от жесткости рессоры (при заданной скорости движения).

Параметры системы: J ₀ = 5·10⁴ кг·см·с²; l = 250 см; а =

= 10 см² /м; b = 25 1/cм²; с = 200 кг/см; a = 10 кг·с/см.

Решение. Представим прицеп в виде схемы (рис. 3.5, б),

причем h значительно меньше l (поворот на угол j приводит только к вертикальному смещению точки А). Тогда уравнение малых угловых колебаний системы можно записать в виде:

a l 2

cl 2 clh a l h &

2 1 &

j&&+ J

j&+ J j= J + J или j&&+ 2 n j&+ p 0j = J (clh + a lh),

0 0 0 0 0

где

p 2 =

cl 2

J 0

; 2 n =

a l 2

.

J 0

где

H (i w) 2

S (w) = H (i w) 2 S (w),

–

мы, которая равна передаточной функции.

Передаточная функция

H (i w) =

l c + a i w.

Тогда

æ l ö2 c 2 - a2 (i w)2

H (i w) 2 = ç ÷.

J

è 0 ø

Подставим некоторые заданные значения переменных в выражение спектральной плотности воздействия дороги на систему:

Sh (w) =

10 v =

(25 v 2 + w2)2p

10 v.

Находим дисперсию угла колебаний прицепа:

1 ¥ 2

ò H (i w)

Sh (w) d w.

Рис. 3.6

График изменения среднеквадратичного отклонения угла ко- лебаний в зависимости от скорости движения показан на рис. 3.6, а, а в зависимости от жесткости рессоры с – на рис. 3.6, б.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: