|
|
Свободные случайные линейные колебания системРассмотрим движение детерминированной системы, вы- званное случайными начальными отклонениями от положения равновесия. В реальных условиях реализовать движение меха- нической системы с абсолютно точными значениями начальных условий невозможно, так как всегда имеет место разброс на- чальных данных. Поэтому реальное движение отличается от расчетного, и возникает необходимость в оценке возможных отклонений движения от расчетного. Задача определения веро- ятностных характеристик движения при свободных колебаниях, вызванных случайными отклонениями от положения равнове- сия, является наиболее простой. Рассмотрим простейшую задачу – задачу линейных коле- баний системы с одной степенью свободы. Уравнение свобод- ных колебаний с учетом сил вязкого сопротивления имеет вид:
где 2 n =a / m; & x &+ 2 nx &+ p 2 x = 0, (3.1) p 0 – собст- венная частота колебаний системы без учета сил трения, Решение уравнения (3.1): x (t) = e- nt (C sin pt + C cos pt).
x (0) = x 0 и скорость x &(0) = v 0) его можно записать в следующем виде:
(3.2) ê 0 p p ú ë û Если вероятностные характеристики случайных величин x 0 и v 0 нам известны (т.е. известны их математические ожидания
0 0 дисперсии D
и D, а также их корреляционный мо-
мент Kx v ), то можно определить вероятностные характеристи- 0 0 ки x (t), x &(t), & x &(t). Введем обозначения: f (t) = e- nt (cos pt + n sin pt);
f (t) = 1 e- nt sin pt.
Тогда p 2 p x (t) = x 0 f 1 (t) + v 0 f 2 (t),
где x 0, v 0 – случайные числа; f 1 (t), f 2 (t) – неслучайные функции. Имеем каноническое представление случайной функции, математическое ожидание которой согласно формуле (2.16) можно записать в виде
Корреляционная функция решения
Дисперсия перемещения D (t) = D f 2 + D f 2 + 2 K f f. x x 0 1 v 0 2 x 0 v 0 1 2 Если начальные условия некоррелированны, то D (t) = D f 2 + D f 2. x x 0 1 v 0 2 По аналогии можно записать выражения для математиче- ских ожиданий и корреляционной функции скорости и ускоре- ния движения: mx &(t) = mx 0 f &1(t) + mv 0 f &2(t); m & x &(t) = mx 0 & f &1(t) + mv 0 & f &2(t); Kx &(t, t 1) = Dv 0 f &1(t) f &1(t 1) + Dv 0 f 2(t) f 2(t 1) +
K & x &(t, t 1) = Dv 0 & f &1(t) & f &1(t 1) + Dv 0 & f &2(t) & f &2(t 1) +
Пример 3.1 [21]. Механическая система с одной степенью свободы (рис. 3.1), состоящая из абсолютно жесткого тела, под- вергается в начальный момент времени действию случайного ударного импульса (волны). Известны вероятностные характе- ристики случайного импульса J (mJ, DJ) и характеристики
– момент инерции тела от- носительно оси, перпендикулярной чер- тежу и проходящей через точку О, и длина l). Требуется определить параметры системы амортизации (с и α) из усло- вий: 1) максимальный угол отклонения тела от действия начального импульса не должен превышать допустимого j1; 2) за заданное время tk амплитуда угло- Рис. 3.1 вых колебаний тела должна уменьшить- ся в k раз. Решение. Уравнение движения тела j&&+ a l 2
j = 0.
(3.3) 0 0 С учетом начальных условий решение уравнения (3.3) имеет вид:
(j(0) = 0; j&(0) = J
º v 0)
p
(3.4)
где p =
; p 2= cl 2
a l 2
2 J 0 0 Если вероятностные характеристики случайного импульса известны, то известны и вероятностные характеристики началь- ной угловой скорости:
0 J D = DJ.
0 0
Тогда вероятностные характеристики решения (3.4) будут следующими: m (t) = mv 0 e- nt sin pt; K (t, t) = Dv 0 e- n (t +t) sin pt sin p t;
j p j p 2 s = s v 0 e- nt sin pt.
j p Максимальное значение угла φ для любого момента време- ни (с использованием правила трех сигм) j = m + 3s = mJ +3s J e- nt sin pt.
(3.5) max j j J 0 p Первый максимум функция jmax достигнет в момент вре- мени t = p , поэтому, пренебрегая влиянием сил трения
(e- nt 1» 1, p» p 0), на интервале времени (0, t 1) получим:
(j) =j= mJ + 3s J.
(3.6) max 1 1 J 0 p 0 Из соотношения (3.6) можно найти один из параметров амортизации: (m + 3s)2 c = J J.
Найдем теперь время tk, за которое амплитуда угловых ко- лебаний тела должна уменьшиться в k раз:
=(2 k 1 -1)p 2 p
m + 3s
- nt J 0 p 0 k 1 sin pt
= k j1 sin ptk ®
(3.7) ® k где n 1 = n / p 0. = expç- 1 1 ÷,
è ø 2 p J n * a* = 0 0 1. l 2 По аналогии можно решить задачу о свободных линейных колебаниях систем с любым числом степеней свободы. Для примера рассмотрим задачу об изгибных колебаниях стержня, возникающих за счет случайных отклонений системы от поло- жения равновесия.
Пример 3.2. В начальный момент времени стержень длиной l (рис. 3.2) получил случайное отклонение, описываемое урав- нением y (0, x) = y 0 sin p x
при
= 0,
(3.8) где y 0 – случайная величина с известными вероятностными ха- рактеристиками: бов стержня. m = 0 и
D. Определить дисперсию проги-
Рис. 3.2
Решение. Уравнение изгибных колебаний стержня ¶2 y
¶2 y
= 0,
(3.9)
где EI – изгибная жесткость; m – масса единицы длины стержня. Используя метод Фурье, решение можно представить в виде: y (x, t) = (A cos pt + B sin pt) j(x), где р – собственная частота колебаний. (3.10) После подстановки (3.10) в уравнение движения (3.9) полу- чим уравнение для функции лебаний: j(x), характеризующее форму ко- d 4j
dx 4
- a4j(x) = 0, a4 = mp 2
. (3.11) Решение уравнения (3.11) можно записать либо через функции Крылова, либо через обычные тригонометрические функции. Подставляя граничные условия (шарнирное закреп- ление)
j(0) = j(l) = 0;
получим для k -й гармоники:
x =0
= 0, j (x) = sin k p x, p
= k 2 p2.
Решение уравнения (3.11) примет вид
y (x, t) = åj k (x)(Ak cos pkt + Bk sin pkt). k =1 Константы Ak и Bk определяем из начальных условий. Воспользовавшись условием ортогональности собственных функций, будем иметь: нулю, поэтому A 1 = y 0, все остальные константы равны y (x, t) = y sin p x cos p t.
0 l 1 Математическое ожидание и корреляционная функция ре- шения определяются выражениями: m = m sin p x cos p t,
y y 0 l 1 K = D cos p t cos p t sin p x sin p x 1.
y y 0
Дисперсия прогиба 1 1 1 l l
p 1 t sin l, p 1 =.
  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
системы (J 0
J
J 0
;
n =.
1 2 p
(k 1 = 1, 2,...).
æ(2 k -1)p n ö
ç ÷
l
t =0
EI ¶ x 2
EI
x = l
k l k
2 2 p x