|
|
Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при крученииИметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении. Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении. Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол (р, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации. При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезы плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.
При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.1 б). При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).
Закон Гука при сдвиге
G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ — угол сдвига, рад.
Напряжение в любой точке поперечного сечения
где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка. В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26). Элементарный момент силы dQ относительно центра круга
где ρ — расстояние от точки до центра круга. Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:
После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:
При ρ = 0 τ к = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jv (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. Jv является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.
Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3) Мк — крутящий момент в сечении; рв — расстояние от точки В до центра; тв — напряжение в точке В] ттах — максимальное напряжение. Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности. Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρта х = d/ 2, где d — диаметр бруса круглого сечения. Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле (см. лекцию 25).
Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем
Обычно JP/pmax обозначают Wp и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения
Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу
Для круглого сечения
Для кольцевого сечения
Условие прочности при кручении Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности
где [ τ к] — допускаемое напряжение кручения. Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность.
1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
Откуда
2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
Расчет на жесткость
При кручении деформация оценивается углом закручивания (см. лекцию 26):
Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R =d/2. Откуда
Закон Гука имеет вид τ к = Gγ. Подставим выражение для γ, получим
Откуда
Произведение GJP называют жесткостью сечения. Модуль упругости можно определить как G = 0,4 Е. Для стали G = 0,8 • 105 МПа. Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ o. Условие жесткости при кручении можно записать в виде
где φ o — относительный угол закручивания, φ о = φ/l; [φо] ≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания. Примеры решения задач
Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φо] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 105 МПа. Решение 1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность. Условие прочности при кручении:
Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
Значения подставляем в ньютонах и мм.
Определяем диаметр вала:
2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость. Условие жесткости при кручении:
Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
Определяем диаметр вала:
3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость. Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее. Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 мм. Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.
Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τтах = 40 Н/мм2. Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.
Решение
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,
откуда
Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм2. Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе. Решение
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,
Откуда
Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент Мz = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм. Решение Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
В рассматриваемом примере Мz = 3 кН-м = 3-106 Н• мм,
Подставляя числовые значения, получаем
Пример 5. Стальная труба (d0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить величину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения. Решение
Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
тогда
В данном случае
Подставляя числовые значения, получаем
Вычисляем максимальные касательные напряжения:
Решение
Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скручивающие) моменты и места изменения размеров поперечного сечения. Пользуясь соотношением
строим эпюру крутящих моментов. Построение эпюры Мz начинаем со свободного конца бруса:
для участков III и IV
для участка V
Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τ шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I
на участке II
на участке III
на участке IV
на участке V
Эпюра максимальных касательных напряжений показана на рис. 2.38, в. Угол поворота поперечного сечения бруса при постоянных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле
Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.
Эпюра углов поворота поперечных сечений изображена на рис. 2.38, г.
Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность N B = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности NA = 15 кВт и NC = 21 кВт. Частота вращения вала п = 300 об/мин. Проверить прочность и жесткость вала, если [ τ KJ = 30 Н/мм2, [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2, d1 = 45 мм, d2 = 50 мм.
Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
где
Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответствующий N А, положительным, Nc — отрицательным. Эпюра Mz показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ
что меньше [тк] на
Относительный угол закручивания участка АВ
что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
что меньше [тк] на
Относительный угол закручивания участка ВС
что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м. Следовательно, прочность вала обеспечена, а жесткость — нет.
Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 поступает на вал 2 мощность N1 = 15 кВт и к рабочим машинам — мощности N2 = 2 кВт и N3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N4 = 7 кВт, N5 = 4 кВт, N6 = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d1 и d2 из условия прочности и жесткости, если [ τ KJ = 25 Н/мм2, [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2. Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D1 = 200 мм, D2 = 400 мм, D3 = 200 мм, D4 = 600 мм. Скольжением в ременной передаче пренебречь. Решение Нарис. 2.40, б изображен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности Nl, N2, N3.
Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N3 и N1, положительными, а N — отрицательным. Расчетный (максимальный) крутящий момент Nx1 max = 354,5 H*м. Диаметр вала 1 из условия прочности
Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)
Окончательно принимаем с округлением до стандартного значения d1 = 58 мм. Частота вращения вала 2
На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N1, а снимаются с него мощности N4, N5, N6. Вычислим внешние скручивающие моменты:
Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент Мя max" = 470 H-м. Диаметр вала 2 из условия прочности
Диаметр вала 2 из условия жесткости
Окончательно принимаем d2= 62 мм.
Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [тк] = 35 Н/мм2, [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I04 Н/мм2, n = 600 об/мин.
Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:
где
Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б. На рис. 2.41, в представлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (максимальный) крутящий момент Mz = 9,54 N. Условие прочности
откуда
Условие жесткости
откуда
Лимитирующим является условие жесткости. Следовательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.   Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.
Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).
Анализ полученной формулы для Jv показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.
При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).
Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, углов поворота поперечных сечений.
Решение
Определим угловую скорость вращения вала 1 и внешние скручивающие моменты m, m1, т2, т3:
Решение
