|
|
Интерполяционный многочлен Ньютона
Предположим дополнительно, что рассматриваемые значения аргумента являются равноотстоящими, т. е. образуют арифметическую прогрессию. В этом случае шаг таблицы h = хi+1 - xi (i = 0, 1, 2,..., n) = const является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается. Прежде чем перейти к рассмотрению этого вопроса, познакомимся с понятием конечных разностей. Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называют конечными разностями первого порядка: Δ yi = yi+1 - yi (i = 0, 1, 2,...). Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка: Δ 2yi = Δ yi+1 - Δ yi (i = 0, 1, 2,...) Для записи конечных разностей используются горизонтальные и диагональные таблицы. Горизонтальная таблица
Диагональная таблица
Формула Ньютона «вперед»:
где n – порядок полинома, h – шаг (расстояние между узлами).
Первый порядок:
Второй порядок:
Формула Ньютона «назад»:
4.2. Итерационные методы решения нелинейных уравнений
Итерационные методы используются для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Уравнения в общем случае можно представить следующим образом: f(x)=0. Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими считаются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-й степени с действительными коэффициентами: f(x)=a0+a1x+...+an-1xn-1+an xn=0. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными, например: x3+x2+2ex+5=0; 2x-sin3x=0. Задача решения уравнения заключается в нахождении таких значений х, которые обращают его в тождество.
Метод деления отрезка пополам
Рассмотрим некоторые итерационные методы решения нелинейных уравнений, которые часто используются при расчете химико-технологических систем. Пусть дано уравнение f(x)=0. Допустим, нам удалось найти такой отрезок [a,b], на котором расположено значение корня x, т.е. а<x<b. В качестве начального приближения корня х0 принимаем середину отрезка x0=(a+b)/2. Далее исследуем значения функции: если f(x0)=0, то х0 является корнем уравнения, т.е. x=x0. Если f(x0)≠0, то выбираем одну из половин отрезка [a,x0] или [x0,b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки, т.е. содержит искомый корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [x0,b]. Вторую половину отрезка на концах которого знак f(x) не меняется, отбрасываем: в данном случае [a,x0]. Отрезок [x0,b] вновь делим пополам. Новое приближение: x1=(x0+b)/2. Вновь исследуем функцию f(x) на концах отрезка и отбрасываем отрезок [x0,x1] т.к. f(x0)>0 и f(x1)>0. Отрезок [x1,b],на концах которого функция имеет противоположные знаки f (x1)<0, f(b)>0, вновь делим пополам и получаем новое приближение корня x2=(x1+b)/2. и т.д. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции f(a) после n -й итерации не станет меньше некоторого заданного малого числа (погрешности). Метод простых итераций Метод итераций представляет собой циклический процесс, очередное приближение которого есть корень с определенной точностью. Исходя их найденного на предыдущем шаге значения хn-1, вычисляем у = f(xn-1). Если |y-xn-1|> eps, то полагают хn=y и выполняют очередную итерацию. Если же |y-xn|<=eps, то приближенные вычисления заканчивают и за решение принимают xn=y. Рассмотрим пример решения уравнения ех–10х = 0; eps = 0.001 на отрезке [0;6]. Корни х1 и х2 легко отделяются графически. Они являются абсциссами точки пересечения графиков ex с прямой y=10·x. Для определения корня заменим исходное уравнение эквивалентным x = 0.1 ex. На отрезке [0;1] f'(0)=0.1; f'(1)= 0.271; т.к. функция ex монотонная, то 0<f'(x)<1, то есть q = 0.271. В качестве начального приближения выбираем х0=1. Вычисления прекращаются, когда |Хn-f(xn)|<=eps. Последовательные приближения в этом случае таковы: x1= 0.271, x2= 0.131, x3= 0.114, x4 =0.112, x5= 0.111, то есть x1= 0.111 c точностью 0.001. Для определения второго корня представляем исходное уравнение в виде х=ln(10x). В этом случае эквивалентной функций будет являться f(x)=ln(10x), а f'(x) = 1/x;|1/x |<=0.5, то есть q =0.5. x0 =2, x1 = 2.995, x2 =3.399, x3 = 3.526, x4 = 3.562, x 5=3.576, то есть x1 = 3.576 c точностью 0.001.
  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
