|
ГЛАВА 3. АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Обратная матрица
Пусть задана квадратная матрица Определение. Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению
Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А*, каждый элемент
Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее определитель |A| отличен от нуля, и вырожденной, если |A|=0. Теорема. Для всякой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А-1, определяемая следующим выражением:
Доказательство. Докажем сначала единственность. Предположим, что существуют две различные обратные матрицы
Из двух последних равенств следует, что Покажем теперь, что выражение (3.1.2) действительно задает обратную матрицу. Составим произведение АА*. Очевидно, что элементами данного произведения являются суммы произведений элементов строк матрицы А на алгебраические дополнения, т.е.
или откуда В заключение отметим, что А* перестановочна с А, т.е. Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы А, равной:
Решение. А11=-3, А12=-1, А21=-1, А22=2,
Проверкой убеждаемся, что АА-1=Е.
Обратная матрица обладает следующими свойствами: 1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, т.е. | A -1|= 2. Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей и 3. Если матрица А невырожденная, то 4. Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной, т.е.
Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг матрицы обозначается r(A). Ранг матрицы равен нулю только у нулевой матрицы. Если матрица отлична от нулевой, то
Если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть, по крайней мере, один минор Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований матрицы. Перечислим элементарные преобразования: 1. Перестановка двух строк или столбцов. 2. Умножение всех элементов строки или столбца на любое число, отличное от нуля. 3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Доказательство. Справедливость теоремы относительно преобразований 1и 2 доказывается на основании соответствующих свойств определителей. Докажем теорему относительно преобразования 3. Рассмотрим матрицу В, полученную из матрицы A прибавлением к i-му столбцу k-го столбца, умноженного на число
Пусть ранг матрицы А равен r(А). Покажем, что Рассмотрим минор Пусть минор
Таким образом,
Матрицу А можно получить из матрицы В с помощью элементарного преобразования 3, следовательно,
Из полученных равенств (3.2.1) и (3.2.2) следует, что Теорема доказана. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, содержащему единичную подматрицу порядка r. Пример. Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Решение. Осуществим над матрицей А элементарные преобразования:
Прибавим ко второй строке матрицы первую строку, умноженную на (–2), третью строку оставим без изменения, к четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на (–1). Получим матрицу
Прибавим первый столбец, умноженный на (–2), на (–4), на (–5) и на (–2) соответственно ко второму, третьему, четвертому и пятому столбцам. Затем вторую строку прибавим к третьей и четвертой строкам. Умножим вторую строку на –1. Получим:
Прибавим второй столбец, умноженный на нужные множители, к третьему, четвертому и пятому столбцам:
r(A)=2. Определение. Минор
![]() ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|