Собственные числа и собственные векторы.

Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы .

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках , , и найти:

1) координаты точки пересечения медиан;

2) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

3) площадь треугольника;

4) систему неравенств, задающих внутренность треугольника АВС.

Кривые второго порядка на плоскости.

Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно . Привести уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Прямая и плоскость в пространстве.

Дана треугольная пирамида с вершинами в точках , , , ,. Найти:a) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;

б) величину угла между ребром SC и гранью АВС;

в) площадь грани АВС;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС, и ее длину;

д)объем пирамиды SАВС.

Дифференциальное исчисление.

Пределы, непрерывность и разрывы функций.

3.1.1.Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в)

3.1.2. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции в окрестностях этих точек:

а) ;

б)

Производные функций.

3.1.1. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; д) ; е) ;ж)

Приложения производной.

3.2.1. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

3.2.2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл.

4.1.1.Найти интегралы:

а) ; б) ; д) .

Несобственные интегралы.

4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:

Применения определенных интегралов.

4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

4.3.2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

Функции нескольких переменных.

Частные производные и дифференциал функции.

5.1.1.Найти частные производные , , функции .

5.1.2.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Приложения частных производных.

5.2.1.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

5.2.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 4x² + y² – 4mx – 2ny + m² + n² в области заданной неравенствами:

x ≥ 0; nx – my 0; x+ y – m – n 0

Двойные, тройные и криволинейные интегралы.

Двойные интегралы.

6.1.1. Изменить порядок интегрирования:

.

6.1.2. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

6.1.3. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

Тройные интегралы.

6.2.1. Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

6.2.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

Криволинейные интегралы.

6.3.1.Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

6.3.2.Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.

Элементы теории поля.

Дифференциальные операции.

7.1.1.В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

7.1.2. Найти в точке градиент скалярного поля

.

7.1.3. Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

7.1.4. Найти в точке ротор векторного поля

.

Интегралы и интегральные теоремы.

7.2.1.Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

7.2.2.Даны поле и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x²+y²=(n+1)². Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

7.2.3. Даны поле и замкнутый виток , ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Уравнения первого порядка.

8.1.1. Найти общее решение уравнения:

а) ; в) .

8.1.2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла миллионов рублей.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: