Измерение математического ожидания

Аналоговое усреднение

Математическое ожидание стационарного эргодического случайного процесса Х(t) удобно определять по одной реализации х(t). Практические измерения основаны на использовании формулы

, (13.1)

дающей оценку математического ожидания, определяемого на конечном интервале.

Структурная схема измерителя математического ожидания приведена на рис. 13.3. Основной узел прибора – усреднитель. Его характеристики определяют характеристики измерителя в целом.

Рис. 13.3. Структурная схема аналогового измерителя среднего значения

Усреднитель, выполняющий свои функции согласно (13.1), называют идеальным интегратором. Другую разновидность представляет фильтр нижних частот. Известны разнообразные варианты устройств, осуществляющих усреднение в аналоговой форме: магнитоэлектрический миллиамперметр; RС-цепочка (коммутируемая – рис. 13.4, а и некоммутируемая – рис. 13.4, б); интегрирующее звено, построенное на основе усилителя постоянного тока с глубокой отрицательной обратной связью (рис. 13.4, в)
и т. п. Все эти устройства относятся к классу линейных систем.

Если физически возможная линейная стационарная система выполняет функции усреднителя процесса Х( t) и усреднение проводится на интервале (О, T), то напряжение на выходе

,

где g(t) – импульсная переходная характеристика системы.

При этом

,

где

Напряжение z(Т) принимают за оценку , следовательно,

Из этого видно, что при Δ = 1 оценка получается несмещенной.

Рис. 13.4. Усреднители

Различные усредняющие устройства имеют различные импульсные переходные характеристики и соответствующие им значения Δ. У идеального интегратора Δ = 1, следовательно, z(Т)=m*_X.

Для коммутируемой RС-цепочки . Если Т << RС,
то D » T/RC и

Схема интегратора (рис. 13.4, в) принципиально работает так же, как и коммутируемая RС-цепочка, но отличается в К раз большей постоянной времени, где К – коэффициент усиления собственно усилителя, входящего в схему.

При усреднении исследуемого напряжения x(t) некоммутируемой RС-цепочкой, представляющей собой простейший фильтр нижних частот, в течение интервала T >> RС отпадает необходимость фиксации интервала Т.
В этом случае ∆ ≈ 1 и .

Статистическую погрешность (случайную составляющую) измерения математического ожидания наиболее часто характеризуют относительной среднеквадратической погрешностью вида ()

,

где — дисперсия оценки математического ожидания.

Для аналогового усреднения эта погрешность определяется из формул:

а) при усреднении интегратором (интервал измерения, т. е. интегрирования Т много больше максимального интервала корреляции )

,

где – среднеквадратическое отклонение случайного процесса от среднего значения; – нормированная по отношению к интервалу корреляции t_к исследуемого процесса продолжительность Т интегрирования;
х – коэффициент изменчивости случайного процесса;

б) при усреднении фильтром нижних частот и выполнении условия

T ³ 4RC; , (13.2)

где – отношение интервала корреляции исследуемого процесса к постоянной времени фильтра, причем .

При определенных условиях реальная погрешность может быть меньше расчетной. Например, если измеритель содержит фильтр нижних частот и магнитоэлектрический прибор, то расчетная погрешность определяется параметрами фильтра, а фактически происходит двойное усреднение – фильтром и магнитоэлектрическим прибором.

Дискретный метод предполагает определение математического ожидания согласно формуле

(13.3)

где T₀ – интервал выборок дискретных значений реализаций х(t); N – общее количество выборок.

Структурная схема одного из вариантов цифрового измерителя изображена на рис. 13.5. В моменты выборок, задаваемые импульсами генератора опроса, напряжение реализации x(t) стационарного эргодического случайного процесса преобразуется в пропорциональное число импульсов (коэффициент пропорциональности ).

Рис. 13.5. Аналого-цифровой измеритель среднего значения

Эти импульсы могут проходить в счетчик только тогда, когда триггер находится в положении I и на вход 2 временного селектора подано «разрешающее» напряжение. За N выборок (опросов) в счетчике накапливается число

(13.4)

Количество N выборок (продолжительность измерения) задается схемой, состоящей из временного селектора II, делителя частоты, триггера и кнопочного выключателя. Пока триггер находится в положении 0, на входах 2 временных селекторов отсутствует «разрешающее» напряжение. Оно появляется, когда после нажатия кнопки первый импульс опроса перебрасывает триггер в положение I. С этого момента импульсы с аналого-цифрового преобразователя передаются через селектор I в счетчик, а импульсы опроса проходят через селектор II в делитель частоты. Он представляет собой пересчетную схему, коэффициент пересчета которой выбран равным 106. После подачи N = 10 B импульсов на выходе делителя возникает импульс, возвращающий триггер в положение 0. Снимается «разрешающее» напряжение с обоих временных селекторов, и счет импульсов прекращается. На этом заканчивается цикл измерения.

Согласно формуле (13.4) оценка измеряемого математического ожидания т*_Х = В/сN. Если cN = 10 ^{a + b}, то т*_Х = В ·10^{–(a +b)} – показание В счетчика дает непосредственно оценку математического ожидания, причем число (а+b) определяет положение запятой.

Прямопоказываюший цифровой измеритель математического ожидания можно выполнить из трех серийно выпускаемых приборов: аналого-цифрового преобразователя, генератора импульсов и электронно-счетного частотомера (рис. 13.6). Счетчик импульсов последнего используется по прямому назначению. Делитель частоты вместе со схемой формирования управления и временным селектором образуют схему, задающую число выборок. Частотомер работает в режиме измерения отношения двух частот.

Рис. 13.6. Измеритель среднего значения с электронно-счетным частотомером

Оценка измеряемого математического ожидания связана с показанием счетчика В соотношением т*_Х = В·10^–(a+b) (10 ^а – коэффициент пропорциональности аналого-цифрового преобразования; b – число включенных декад делителя частоты частотомера).

Цифровое усредняющее устройство может быть выполнено также по принципу построения цифрового интегрирующего вольтметра, предполагающего преобразование напряжения в частоту. Такое устройство наиболее эффективно при усреднении высокочастотных процессов.

Статистические погрешности измерения среднего значения дискретными методами зависят от интервала дискретных выборок T₀ и их общего количества N.

Дисперсия оценки находится из формулы

,

где – значение корреляционной функции процесса Х(t) в точке iТ₀; Т₀ =T/(N – 1); Т – общее время измерения (длительность реализации).

Когда длительность реализации или продолжительность эксперимента не строго ограничены, целесообразно измерять среднее значение напряжения реализации х(t), используя некоррелированные выборки. Это достигается выбором интервала дискретизации согласно неравенству

,

где – максимальный интервал корреляции исследуемого случайного процесса Х(t), определяемый из условия |ρx (τ)| = 0,05.

Тогда дисперсия оценки среднего значения

где D_X – дисперсия исследуемого процесса.

Относительная среднеквадратическая случайная погрешность измерения среднего значения некоррелированными выборками

,

где – коэффициент изменчивости случайного процесса Х(t).

При анализе реализации фиксированной, строго ограниченной длительности случайная составляющая статистической погрешности увеличивается по сравнению c погрешностью непрерывного усреднения в раз, где а = τмк/2τк (τк – интервал корреляции). Если интервал Т ограничен, то (13.4) сходится к (13.1) при предельном переходе , . Однако из этого не следует, что при измерениях выборки должны следовать как можно чаще. Такой подход может привести к избыточности числа выборок, усложняющей аппаратуру и не дающей существенного выигрыша в точности.

Для каждого случайного процесса характерны интервал выборок Т_а и минимальное число N_мин, при которых среднеквадратическое отклонение (корень квадратный из дисперсии) оценки (13.4) будет всего на 5 % выше среднеквадратического отклонения оценки (13.1). Например, для процесса, нормированная функция корреляции которого ρ_х(iT₀) = e^–β|iT0|, интервал
T₀ = 1,1/β и N_мин 0,9βT, а для процесса, характеризуемого нормированной функцией корреляции ρ_х(iT₀) = , интервал T₀ = 1,77/γ и N_мин 0,67γT.

Увеличение количества выборок по сравнению с N_мин точности измерений существенно не повышает, а лишь приводит к избыточности измерений.

При цифровом методе измерения помимо дискретизации времени осуществляется квантование реализаций исследуемых процессов. Эта операция сопровождается увеличением статистических погрешностей измерения. Однако при рациональном выборе числа уровней квантования влияние этой составляющей весьма мало.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: