|
|
Метод аппроксимации корреляционной функции суммой членов разложения ее в рядКорреляционную функцию стационарного случайного процесса можно представить рядом
где аn – коэффициент Фурье; φn(τ) – семейство базисных функций, ортонормирован
где km,n – символ Кронекера, т. е. km,n = 0 при т
Этот коэффициент можно представить в форме
Напряжение vп(t) – выходное напряжение линейного фильтра с импульсной переходной характеристикой
Формула принимает вид
если исследуемый случайный процесс стационарный и эргодический. Линейную систему с одним входом и многими выходами, откликающуюся на единичный импульс – дельта-функцию δ(t) – семейством ортогональных функций φn, называют ортогональным фильтром. Это же название распространяют и на фильтр с импульсной переходной характеристикой. Таким образом, коэффициент разложения аn аппаратурно может быть определен усреднением по времени произведения напряжения реализации х(t) и выходного напряжения и vn(t) ортогонального фильтра с импульсной переходной характеристикой, ко входу которого приложено напряжение х(t). Для практического использования формулы ограничиваются конечным числом членов ряда. Тогда
На основе формул конструируют коррелометры, причем в качестве базисных функций могут быть применены функции Лагерра, Хаара, Уолша, Чебышева, Эрмита, Лежандра и др. Статистические погрешности измерения корреляционных функций Статистические погрешности измерения корреляционных функций зависят от применяемого метода измерений: 1. Относительная среднеквадратическая погрешность измерения функции корреляции вида «значение – значение» дискретным методом перемножения при некоррелированных парных выборках для нормального стационарного процесса, характеризуемого нормированной функцией корреляции ρх(kТ0)
где N – число пар некоррелированных выборок; kТ0 – интервал сдвига между выборками, образующими пару. 2. Относительная среднеквадратическая погрешность измерения нормированной функции корреляции по знаковой корреляционной функции вида «знак – знак» при некоррелированных парах выборок и (kТ0)
3. Относительная среднеквадратическая погрешность измерения нормированной функции по знаковой функции вида «значение – знак» (нормальный случайный процесс)
4. Относительная среднеквадратическая погрешность измерений корреляционной функции по функции вида «значение – знак» с применением вспомогательного сигнала
где с = А/σX. Погрешность аппроксимации Измерения функции корреляции заключаются в измерении отдельных ее значений – ординат. Для получения всей кривой необходима аппроксимация кривой. Обычно измеряют n равномерно отстоящих друг от друга ординат, разделенных интервалом τ0, называемым шагом измерения, полагая максимальное время задержки примерно равным максимальному интервалу корреляции τм.к. анализируемого случайного процесса. При этом n = τм.к. /τ0+1 (с округлением в сторону большего целого). Шаг измерений определяют по формуле
где δ д – допустимая погрешность аппроксимации кривой нормированной функции корреляции ρх(τ) сложной ломаной, вершины которой совпадают в точках τi c графиком функции ρх(τ); ρ"х(τ) – вторая производная функции ρх(τ). Имеется таблица чисел n для типовых корреляционных функций при различных величинах допустимой погрешности δ д (она построена по приведенным формулам). При экспериментальном определении корреляционной функции следует на основе либо априорных данных, либо грубого эксперимента построить модель, т. е. сделать предположение о том, Анализ спектров
Общие сведения Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса определяется как преобразование Фурье корреляционной функции стационарного случайного процесса
Соответственно обратное преобразование Фурье
В выражениях, называемых формулами Винера – Хинчина, спектральная плотность
Значение спектральной плотности GХ(f) для каждого фиксированного значения частоты f – это средняя мощность, выделяемая на резисторе сопротивлением в 1 Ом, которая приходится на единицу полосы частот. Аппаратурно спектр определяют анализатором спектра, работа которого основана на одном из трех методов анализа: фильтрации, нахождения спектральной плотности мощности по измеренной корреляционной функции в соответствии с теоремой Винера – Хинчина, определения спектральной плотности мощности по преобразованию Фурье реализации случайного процесса. Метод фильтрации Согласно (13.5) средняя мощность стационарного случайного процесса Х(t)
Если спектр процесса ограничен частотами f 1 = f – Δ f /2 и f 2 = f + Δ f/ 2, то средняя мощность в полосе Δ f (в окрестности частоты f)
В случае, когда полоса частот Δ f конечна, но настолько узка, что спектральную плотность Gx(f) можно полагать постоянной в этой полосе,
Спектральную плотность можно определить, измерив среднюю мощность в известной узкой полосе, т. е. «вырезать» узкую полосу спектра исследуемого процесса, а затем выполнить те же операции, что и при измерении средней мощности эргодического случайного процесса (рис. 13.10).
Рис. 13.10. Структурная схема измерителя спектральной плотности мощности методом фильтрации Напряжение v (t, T) – длительность реализации или продолжительность анализа, снимаемое с выхода усреднителя, соответствует оценке спектральной плотности. При анализе
где d = 1 для идеальных низкочастотных и радиофильтров, d = 1/2 – для одиночной колебательного контура, d = Относительная дисперсия оценки спектральной плотности мощности уменьшается с расширением полосы пропускания анализирующего фильтра. Но это ведет к увеличению смещения оценки, которое прямо пропорционально ширине полосы. Относительная погрешность смещения
где G"x(f) – вторая производная по частоте спектральной плотности Gx(f).
Выражения для квадратов суммарных погрешностей
Оптимальная (в смысле минимума суммарной среднеквадратической погрешности) полоса пропускания анализирующего фильтра: – при усреднении идеальным интегратором
– при усреднении с помощью ФНЧ
  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
,
ных в интервале (0, 
) с весом μ(τ), характеризуемое интегралом
,
0 и 1 при т = n. Коэффициент разложения an, в соответствии с общими свойствами ортогональных полиномов определяется формулой
,
τм.к, т.е. ρx(kТ0) 
.
.
распространена на область как положительных, так и отрицательных частот, причем 
. В отличие от двустороннего «математического» спектра G(M)(f)при прикладных исследованиях и измерениях используют одностороннюю «физическую» спектральную плотность GX(f), отличную от нуля лишь при f 
0: 
(13.5)
одной реализации среднеквадратические относительные случайные погрешности при усреднении идеальным интегратором и ФНЧ
,
– для гауссова радиофильтра; Т – продолжительность интегрирования; fэ.п. – эффективная шумовая полоса узкополосного фильтра; α – величина, обратная постоянной времени усредняющего ФНЧ.
,
