|
|
Порядок выполнения работы на первом этапеВычислить интеграл вида 1. Рассчитать n - необходимое количество испытаний, чтобы с вероятностью p = 0,9 обеспечить точность вычисления интеграла ε = 0,01. 2. Вычислить определенный интеграл от функции f(x) = xk на отрезке [0; 1], смоделировав n испытаний. 3. Смоделировать 10 экспериментов по вычислению интеграла по n проб в каждом. 4. По результатам заполнить таблицу полученных результатов, сравнив значения интеграла, вычисленные по методу Монте-Карло, с точным значением определенного интеграла. 5. Сделать выводы о возможности применения метода статистических испытаний к решению задачи о численном нахождении определенного интеграла. В качестве примера применим метод Монте-Карло для вычисления интеграла
Рис. 4.1 а) Выберем в квадрате ( Заметим, так как б) Рассчитаем необходимое количество испытаний, чтобы получить значение интеграла с заданной точностью. Пусть Получим, в) Проведем 10 экспериментов Составим таблицу для n = 6806:
г) Сделаем выводы относительно значений отклонения Порядок выполнения работы на втором этапе 1. Подобрать сложную функцию (желательно не имеющей первообразной в элементарных функциях), удовлетворяющую условиям варианта (см. прил. 2), и построить её график. 2. Правильно определить область для генерации пар случайных чисел. 3. Разработать программу, вычисляющую определённый интеграл методом Монте-Карло, чтобы с вероятностью p = 0,9 обеспечить точность вычисления интеграла ε = 0,01. 4. Воспользовавшись программой, провести 10 серий вычислений, после чего найти среднее арифметическое. 5. Сделать выводы по работе. При сдаче лабораторной работы демонстрируется: 1. Запускающийся exe-файл разработанной программы + код программы; 2. График выбранной функции с отмеченными пределами интегрирования; 3. Качественный отчёт. Пример выполнения Вычислим интеграл Пуассона График функции
Рис. 4.2 Выберем пределы интегрирования: пусть a = -1; b = 2. Т. е. необходимо найти площадь закрашенной фигуры (рис. 4.3).
Рис. 4.3 Для этого будем генерировать (программа) пары чисел
Рис. 4.4 Мера множества Условие попадания точки под график функции: Тогда Количество всех точек n необходимо найти из условия, что с вероятностью p = 0,9 точность вычисления интеграла должна быть не менее e = 0,01 (см. пункт б) первого этапа). Таким образом, в результате выполнения всех пунктов задания был получен результат При выполнении лабораторной работы подынтегральная функция, соответствующая условиям варианта (см. прил. 2), выбирается студентами произвольно. Например, если в задании требуется выбрать функцию, в которой присутствуют натуральный логарифм и
Рис. 4.5 Занятие 5   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
в явном виде, используя правила вычисления определенного интеграла (значение k совпадает с номером в журнале или задается преподавателем).
в заштрихованной области (рис. 4.1).
в первой четверти) n случайных точек. Пусть m точек попали в заданную область (ниже графика заданной функции). Рассмотрим отношение 
, где 
- площадь заданной фигуры; 
- площадь квадрата (см. геометрическое определение вероятности).
, то интеграл 
численно равен p. В нашем случае 
.
. Подставим значения: 
по n проб в каждом. С помощью программы получим результаты 
, где 
Пусть событие A - соответствует попаданию 
в заштрихованную область, m - количество появлений события A в эксперименте.
в 10 проведенных экспериментах. Обладает ли относительная частота свойством устойчивости? Что означает понятие «сходимость по вероятности» и подтверждает ли серия проведенных экспериментов тот факт, что относительная частота сходится по вероятности к теоретическому значению вероятности? Какое определение вероятности лежит в основе статистического метода вычисления значения определенного интеграла? Что способствовало возможности посредством применения статистических испытаний решить задачу вычисления определенного интеграла, которая не имеет вероятностной природы?
. Как известно, функция 
не имеет первообразной в элементарных функциях, т. е. интеграл нельзя вычислить непосредственно.
равна 3. Так как нижний предел интегрирования функции a = -1, а верхний - b = 2, следовательно, 
- случайные числа, которые генерируются на отрезке 
. Так как наибольшее значение, которое принимает функция 
, есть 
, то 
- случайные числа, которые генерируются на отрезке 
.
.
, где m – количество точек, попавших под график функции; n – количество всех точек; 
. Истинное же значение данного интеграла 1,62891.
, то можно выбрать функцию вида 
, которая, очевидно, удовлетворяет требованиям. Пределы интегрирования также выбираются произвольно, например, от 1 до 3 (рис. 4.5).