Работа постоянной и переменной силы. Закон сохранения механической энергии

1. Работа постоянной силы

,

где – угол между вектором силы и перемещением.

2. Работа переменной силы

,

где – проекция силы на направление перемещения dS.

3. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

или .

4. Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины

,

где k – коэффициент жесткости пружины; x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (данные тела считаются материальными точками);

в) тела, находящегося вблизи поверхности Земли (в однородном поле силы тяжести)

,

где g – ускорение свободного падения тела; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли).

5. Работа,совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы

.

6. Закон сохранения механической энергии

E = E_k + E _П = const.

Примеры решения задач

Задача 1

К нижнему концу пружины жёсткостью Н/м присоединена другая пружина жёсткостью Н/м, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружины, определить отношение потенциальных энергий пружин.

Дано:	Решение:
k 1 = Н/м k 2 = Н/м	Так как на обе пружины действует одна и та же сила (mg), то силы упругости одинаковы для обеих пружин, т.е. , (1)
=?

отсюда . (2)

Известно, что потенциальная энергия пружины имеет вид

.

Запишем выражение для потенциальных энергий первой и второй пружин:

и .

Разделим на :

. (3)

Подставив (2) в выражение (3), получим:

.

Задача 2

Поезд массой 600 т движется под гору с уклоном 0,3^о и за 1 минуту развивает скорость 18 км/ч. Коэффициент трения равен 0,01. Определить среднюю мощность локомотива.

Дано:	Решение:
m = 600 т = кг t = 1 мин = 60 с f = 0,01	Средняя мощность, развиваемая локомотивом , (1) где F т – сила тяги. Среднее значение скорости , , ускорение поезда .
<N> =?

Запишем уравнение II закона Ньютона в проекции на направление движения:

, (2)

где . (3)

Тогда из уравнения (2) с учётом (3) запишем выражение для силы тяги локомотива:

, (4)

средняя мощность, развиваемая локомотивом, < N > вычисляется по формуле

.

Произведя вычисления, получим:

кВт.

Задача 3

Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить коэффициент полезного действия (КПД) удара.

Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, поэтому энергия Е _деф, затраченная на деформацию, равна разности значений механической энергии системы до и после удара

, (1)

где u –общая скорость всех тел, входящих в систему, после неупругого удара. Эту скорость найдем на основе закона сохранения импульса

, (2)

откуда

. (3)

Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Е _деф:

. (4)

Полезной считается энергия, затраченная на деформацию. Поэтому КПД равен

. (5)

Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:

.

Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса наковальни по сравнению с массой молота.

Закон сохранения импульса. Совместное применение законов сохранения импульса и механической энергии

1. Закон сохранения импульса

,

то есть суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется постоянным.

2. Закон сохранения импульса для системы из двух тел

,

где и – скорости тел в короткий момент до взаимодействия; и – скорости тех же тел после взаимодействия.

3. Применение законов сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров:

а) неупругий удар

- закон сохранения импульса

,

- скорость шаров после неупругого удара

,

знак “минус” соответствует движению шаров навстречу;

б) упругий удар

скорости упругих шаров после удара

,

,

где и – скорости шаров до удара, и – после удара.

Примеры решения задач

Задача 1

Человек массой 60 кг стоит на тележке массой 30 кг. Определить скорость тележки, если человек будет двигаться по ней с относительной скоростью 3 м/с. Трением между тележкой и дорогой пренебречь.

Дано:	Решение:
m 1 = 60 кг m 2 = 30 кг = 3 м/с	Систему человек – тележка можно считать замкнутой, так как сила тяжести уравновешивается силой нормальной реакции тележки. До взаимодействия суммарный импульс человек – тележка был равен нулю.
u =?

При движении человека его скорость относительно Земли будет равна , а импульс человека . Тележка получит импульс .

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось X в системе отсчета относительно Земли

.

Отсюда .

Проведём вычисление u:

Задача 2

Пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в мешок с песком массой 4 кг, висящий на длинной нерастяжимой нити и застревает в нем. Найти высоту, на которую поднимется мешок после попадания в него пули.

На основе закона сохранения энергии запишем:

. (1)

Для определения скорости совместного движения мешка и пули используем закон сохранения импульса. Запишем его в проекции на ось Х:

, (2)

откуда

. (3)

Подставим выражение (3) в формулу (1) и тогда высота h равна

. (4)

Выполним вычисления по формуле (4)

м = 5,1 см.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: