|
|
Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.Учитывая, что относительная скорость u=v/vв и что в нашей задаче v1=vв и v2=4, получим: u1=1, и u2=¥. Следовательно, искомая часть молекул:
Чтобы избежать математических трудностей, связанных с нахождением неопределенного интеграла, воспользуемся тем очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ¥. Поэтому, если обозначить через DN' число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т. е. лежат в интервале от 0 до 1, то можно записать:
Таким образом, вместо того, чтобы искать DN/N можно найти
а затем вычислить DN/N. Так как зтот интеграл аналитически не вычисляется, то воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию f(u)=exp(-u2)×u2 в ряд Маклорена: exp(-u2)=1-u2/1+u4/2-u6/6+u8/24-... exp(-u2) u2=u2-u4/1+u6/2-u8/6+u10/24-... Теперь, произведя интегрирование, имеем: DN'/N=4(1/3-1/5+1/14-1/54+1/264...)/p1/2. Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем (с погрешностью, не превышающей 0,01): DN'/N=0,43. Тогда DN/N=1-0,45=0,57. Ответ: DN/N=0,57.
33. Найти число столкновений <z>, которые происходят в течение секунды между всеми молекулами, находящимися в объеме V=1,0 мм3 водорода при нормальных условиях. Принять для водорода d=2,3×10-10 м. Решение. Число столкновений <z>, испытываемых одной молекулой за одну секунду, определяется по формуле <z>= 2 1/2pd2×n2×<v>×V/2, где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; <v>= Чтобы установить соотношение между величинами <z> и <z>, учтем, что если умножить число столкновений одной молекулы за одну секунду на число всех молекул N, то получим результат, превышающий в два раза искомое число <z>. Действительно, в одном столкновении участвуют сразу две молекулы, поэтому в число <z>×N каждое столкновение входит дважды: один раз в счет столкновений одной из молекул данной пары, другой раз в счет столкновений второй молекулы. Следовательно, правильным будет выражение <z>=<z>N/2=<z>nV/2, где n=p/kT – концентрация молекул. Подставив вместо <z>, n и <v> их значение, окончательно получим: <z>=2 1/2pd2p2V(8R/pmT)1/2/2k2T. Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ, подставив их в формулу и выполнив вычисление, будем иметь <z>=1,6×1026 с-1. Ответ: <z>=1,6×1026 с-1.
34. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура T воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К. Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты y по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана
Так как в однородном поле силы тяжести U=mgy, то
По условию задачи, изменение Δn концентрации с высотой мало по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации n можно заменить дифференциалом dn. Дифференцируя выражение по z, получим
Так как
то dn=- mgndy/kT. Отсюда находим интересующее нас изменение координаты: dy=- kT dn/mgn. Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dy>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несущественен) и заменим дифференциалы dy и dn конечными приращениями Dy и Dn: Dy=kTDn/mgn. Выразив входящие в формулу величины в системе СИ, подставив их в эту формулу, произведем вычисления Dy=1,38×10-23×300×0,01/10-21×9,81=4,23×10-3 м=4,23 мм. Ответ: Dy=4,23×10-3 м. 35. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5oC до t=1 oC. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик? Давление p у поверхности Земли считать нормальным. Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой
Барометр может показывать неизменное давление p при различных температурах T1 и T2 за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h1 (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h2. Запишем барометрическую формулу для двух случаев:
Найдем отношение po/p и обе части полученных равенств прологарифмируем:
Из полученных соотношений выразим высоты h1 и h1 и найдем их разность
Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу длины:
Выразив величины в СИ, подставив их в полученную формулу, произведем вычисления:
Ответ: Δh=-28,5 м. 36. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <v> молекул и число <z> соударений, которые испытывает молекула в 1с. Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле
где m – молярная масса вещества. Среднее число <z> соударений молекулы в одну секунду определяется отношением средней скорости <v> молекулы к средней длине ее свободного пробега <l>:
Размерность полученных величин очевидна. Подставив значения входящих в формулы величин в СИ, будем иметь <v>=362 м/с; <z>=9,05×109 с-1. Ответ: < v >=362 м/с; <z>=9,05×109 с-1.
37. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая газы за идеальные. Решение. Между молярными и удельными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлении и при постоянном объеме существует связь: Cp=mcp и Cv=mcv, где Таким образом, для удельных теплоемкостей имеем
Зная, что неон одноатомный газ, то для него число степеней свободы i=3, m=20×10-3 кг/моль, а водород двухатомный газ для него число степеней свободы i=5, m=27×10-3 кг/моль. Подставляя в каждую из выше записанных формул значения число степеней свободы и значение универсальной газовой постоянной, вычисляем удельные теплоемкости для: 1) неона
2) водорода
Ответ: 1) 2)
38. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода. Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:
Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны:
Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь
Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем
Ответ: сp/cV=1,4.
39. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кг×К). Найти молярную массу этого газа. Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:
Молярная теплоемкость при постоянном давлении
где i – число степеней свободы газа. Таким образом:
Откуда
Подставляя в полученную формулу значения величин данных в условии задачи, с учетом того, что для двухатомного газа i=5, будем иметь:
Ответ: μ=0,002 кг/моль.
40. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w1=80% и w2=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона сv=6,24×102 Дж/(кг×К), сp=1,04×103 Дж/(кг×К); для водорода – сv=1,04×104 Дж/(кг×К), сp=1,46×104 Дж/(кг×К). Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т1 до температуры Т2 равна:
где сv(см) – удельная теплоемкость смеси; (m1+m2) – масса смеси; (T2-T1) – изменение температуры. С другой стороны это количество тепла может быть вычислено по формуле:
где Q1 и Q1 – соответственно количество тепла, которое необходимо сообщить,чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности; сv1 и сv2 – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме; m1 и m2 – массы неона и водорода. Таким образом, имеем:
или
Откуда
где Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении, будем иметь:
Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:
Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь:
Ответ:
Решение. Изменение внутренней энергии газа ΔU=cvmΔT, где cv=iR/2μ – удельная теплоемкость при постоянном объеме; μ – молярная масса газа; ΔТ=(Т3-Т1) – изменение температуры газа в конечном и начальном состояниях; i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ). Температуру газа в начальном и конечном состояниях можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона:
Для начальной температуры
Для конечной температуры
Тогда изменение внутренней энергии газа
Подставляя численные значения, будем иметь
Ответ: ΔU=3,25 кДж. 42. Кислород массой 2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти работу, совершенную газом, и теплоту, переданную газу (рис. 3.9). Решение. Из уравнения Менделеева–Клапейрона
можно определить температуры, характерные для соответствующих состояний:
Таким образом, температура газа в начальном состоянии T1=p1V1m/mR; в промежуточном T2=p2V2m/mR; в конечном T3=p3V3 m/mR. В процессе перехода газ совершал работу A=A1+A2, где A1 – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления; A2 – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема. Работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления определяется соотношением:
а работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема Таким образом, в данном случае
Количество тепла, переданного газу равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной им:
Известно, что изменение внутренней энергии газа пропорционально изменению его температуры, при этом
Следовательно, для изменения внутренней энергии газа при его переходе из начального в конечное состояние, имеем:
где DТ=T3–T1. Таким образом, для количества тепла переданного газу имеем:
Подставив численные значения величин, будем иметь: Т1=0,2×106×1×32×10–3/(8,31×103×2)=385 К; Т2=0,2×106×3×32×10–3/(8,31×103×2)=1155 К; Т3=0,5×106×3×32×10–3/(8,31×103×2)=2888 К; DU=5×2×8,31×(2888–385)/(2×32×10–3)=3,25×103 Дж; A=2×8,31×(1155–385)/32×10–3=0,4×103 Дж; Q=3,25×103+0,4×103=3,65×103 Дж. Ответ: A=Дж; Q=3,65×103 Дж.
43. Масса m=10 г кислорода находится под давлением p=0,3 МПа и при температуре 10 oС. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V2=10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа W до и после нагревания. Решение. Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания
где i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ); R=8,31 Дж/(моль×К) – универсальная газовая постоянная; m=0,032 кг/моль – молекулярная масса кислорода; T1 и T2 – температуры газа в начальном и конечном состояниях. Для определения температуры газа в конечном состоянии воспользуемся соотношением между температурой и объемом газа, нагреваемого в условиях постоянного давления:
Откуда
Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона, записанным в виде
находим объем газа в начальном состоянии:
Для конечной температуры будем иметь соотношение:
Подставляя численные значения, определяем конечную температуру газа:
Подставляя численные значения, находим количество теплоты, полученное газом в процессе нагревания:
Энергию теплового движения молекул газа можно определить по формуле
где CV=iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Таким образом, для энергии теплового движения молекул газа в начальном состоянии имеем:
в конечном состоянии
Ответ:Q=7,9 кДж; W1=1,8 кДж; W2=7,6 кДж.
44. Масса 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V=2 л при температуре t=10 oС. После нагревания давление в сосуде стало равным p2=1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании? Решение. Так как объем газа не изменился, то сообщенное ему количество теплоты пошло на изменение его внутренней энергии Q=DU, которое в свою очередь можно определить так: DU=mCV(T2–T1)/m=mCVΔT/m, где Cv=iR/2 – молярная теплоемкость азота при постоянном объеме. Следовательно, DU=miR(T2–T1)/2m. Для определения конечной температуры T воспользуемся тем, что при нагревании газа в условиях постоянного объема отношение давлений пропорционально отношению его температур в начальном и конечном состояниях p1/p2=T1/T2. Имеем T2=T1p2/p1. Начальное давление определяем из уравнения Менделеева–Клапейрона, записанного для первоначального состояния: p1V1=mRT1/m. p1=mRT1/mV1. Так как по условию задачи V1=V, то для конечной температуры имеем: T2=mp2V/mR. Подставляя значение T2 в формулу изменения внутренней энергии, которое равно количеству тепла, сообщенному газу, окончательно получим: Q=imR(mp2V/mR-T1)/2m. Размерность полученного результата очевидна. Численное значение Q равно
Ответ: Q=4,13 кДж.
45. Баллон с кислородом емкостью V=20 л при давлении p=100 ат и температуре t=7 oС нагревается до t=27 oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ? Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным. При изохорных процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии. Из определения молярной теплоемкости следует, что элементарное количество теплоты, сообщенное телу при повышении его температуры на dT, равно: dQ=CVdT. Число молей найдем из уравнения газового состояния (Менделеева–Клапейрона) n=m/m=p1V/RT1. Так как газ нагревается при постоянном объеме, то С=СV, где СV=iR/2. Подставив значения n и СV в формулу для элементарного количества тепла, получим:
Отсюда, интегрируя и учитывая при этом, что все величины i, p1, T1, V постоянные, найдем полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании от T1 до T2, которое численно и будет равно изменению его внутренней энергии: Q=DU=ip1V(T2–T1)/(2T1). Проверив размерность, подставив в полученную формулу значения входящих величин в системе СИ, произведем вычисления: DU=5×9,8×105×2×10–3(300-280)/(2×280)=35×103 Дж=35 кДж. Ответ: ΔU=35 кДж.
46. Баллон емкостью V=20 л с кислородом при давлении p=100 ат и температуре t1=7oС нагревается до t2=27oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ? Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным. При изохорических процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии. Применим к рассматриваемому газу первое начало термодинамики: dQ=dU+dA. Поскольку при изохорном процессе газ не совершает работы, то dA=0, а dQ=dU. Для внутренней энергии идеального газа справедливо соотношение U=imRT/2m=ipV/2. Отсюда для изменения внутренней энергии имеем DU=ip1V(p2/p1-1)/2 Заменяя по закону Шарля для изохорного процесса отношение давлений p2/p1 отношением абсолютных температур T2/T1, получим: Q=ip1V(T2/T1-1)=ip1VT1(T2-T1)/2. Все величины, кроме i, даны в условии задачи. Поскольку кислород является двухатомным газом, то число степеней свободы i=5. Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ: p=9,8×106 Па, V=2,00×10-2 м3, T1=280 К, T2=300 К.   ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
,
– средняя арифметическая скорость молекул газа.
,
.
;
.
,
а 
а 
.
;
.
; 
.
и 
.
и 
– массовые доли неона и водорода соответственно.
.
; 
41. Кислород массой 2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p1=0,2 МПа (рис. 3.9). Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.
.
.
Дж.
.
т.к. DV=0.
.
– молярная теплоемкость газа при постоянном давлении;
.
.
=4,13 кДж.