|
|
П 1.1. Кинематика и динамикаМеханика – раздел физики, в котором изучается механическое движение, причины, вызывающие это движение, и происходящие при этом взаимодействия между телами. Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей (частиц) в пространстве. Кинематика – раздел механики, в котором изучают геометрические свойства движения и взаимодействия тел в не связи с причинами их порождающими. Физические модели (научные абстракции) классической механики: 1) материальная точка – протяженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, обладающее массой. Понятие применимо при поступательном движении или когда в изучаемом движении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс; 2) абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого в процессе движения остается неизменным. Применимо, когда можно пренебречь деформацией тела; 3) сплошная изменяемая среда – понятие применимо при изучении движения изменяемой среды (деформируемого твердого тела, жидкости, газа), когда можно пренебречь молекулярной структурой среды. Система единиц измерения физических величин – совокупность основных и производных эталонов. В настоящее время предпочтительной во всех областях науки и техники является система СИ. В системе СИ единицами измерения являются: 1) основные – единица измерения длины (L) – 1 м; единица измерения массы (M) – 1 кг; единица измерения времени (T) – 1 с; единица измерения температуры (Т) – 1 К; единица измерения силы тока (I) – 1 А; единица измерения силы света (I) – 1 св.; 2) дополнительные – единица измерения плоского угла – 1 рад; единица измерения телесного угла – 1 стерад. Тело отсчета – произвольно выбранное, условно неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела. Система отсчета – произвольная система координат, связанная с телом отсчета, например: а) прямоугольная, трехмерная система координат, в точке пересечения осей которой помещают тело отсчета; б) полярная система координат, положение материальной точки (тела) в которой задается радиус – вектором r и углами: j; q. Траектория движения – совокупность последовательных положений материальной точки (тела) в процессе ее движения.
Положение материальной точки (тела) в прямоугольной системе отсчета, в данный момент времени, может быть определено: с помощью координат x, y, z – M(x,y,z); с помощью радиус – вектора r и естественным (траекторным) способом (рис. П 1. 1). Уравнения движения материальной точки (тела) в кинематике: x=f1(t); y=f2(t); z=f3(t); rx=f1(t); ry=f2 (t); rz=f3(t), где x, y, z – координаты; rx, ry, rz – проекции радиуса вектора r на соответствующие оси координат.
1) перемещение (рис. П 1.2) – вектор D r, проведенный из начального положения материальной точки (тела) в положение этой точки в данный момент времени (приращение радиус – вектора за рассматриваемый промежуток времени): D r = r 1– r 2; 2) элементарное перемещение d r – бесконечно малое перемещение, которое с достаточной степенью точности совпадает с соответствующим участком траектории движения. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения численно равен пройденному пути: ½D r ½=DS; 3) путь – расстояние, пройденное телом при его движении по траектории. В частных случаях перемещение и путь могут совпадать; 4) мгновенная линейная скорость – векторная физическая величина, характеризующая состояние движения, показывающая, как изменяется перемещение в единицу времени, равная первой производной от перемещения по времени:
5) средняя скорость неравномерного движения – скалярная физическая величина, численно равная отношению всего пути, пройденного телом (материальной точкой), к тому промежутку времени, в течение которого совершалось движение:
6) линейное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости в единицу времени, равная первой производной от скорости или второй производной от перемещения по времени:
7) тангенциальное ускорение а t – составляющая ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения. Изменяет линейную скорость только по величине:
8) нормальное ускорение a n – составляющая линейного ускорения, направленная по нормали n к вектору линейной скорости, т.е. к касательной в данной точке:
где R – радиус кривизны траектории движения; n – единичный вектор нормали к траектории движения; 9) полное ускорение a:
10) среднее ускорение при неравномерном движении:
Принцип относительности Галилея (в классической механике) – никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами, не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета. Предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета. Преобразования Галилея определяют положение произвольной материальной точки в двух инерциальных системах отсчета, одна из которых движется со скоростью v o относительно другой (при условии, если направление скорости v 0 совпадает с направлением r o): r=r ' +r 0 =r ' +v ot; t=t'. где r и r ' – радиус – векторы, определяющие положение материальной точки в неподвижной и подвижной системе отсчета в данный момент времени; r o – радиус вектор, определяющий положение начала координат системы К' (подвижной) в системе К (неподвижной). В проекциях на оси координат в произвольный момент времени t положение выбранной точки в системе К можно определить так: x=x'+v0xt, x'=x – v0xt, у=у'+v0уt, у'=у – v0уt, z=z'+v0zt, z'=z – v0zt, t=t'. t=t'. Ковариантные или инвариантные уравнения – уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и сохраняют свой вид во всех инерциальных системах отсчета. Закон сложения скоростей в классической механике: v = v '+ v 0. Относительное расстояние между выбранными точками пространства в системах отсчета определяется соотношением – они абсолютны, т.е. инвариантны: В подвижной
В неподвижной
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором какие – либо две его точки остаются неподвижнымив процессе движения. Прямая, проходящая через эти точки, – ось вращения; все остальные точки твердого тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, центры которых лежат на этой оси (рис. П 1.3).
1) угол поворота D j – угол, отсчитанный между двумя последовательными положениями радиуса R. 2) угловая скорость w – векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота Dj в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта:
3) угловое ускорение e – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно – в случае замедленного:
Период вращения (T) – время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Частота вращения (n) – число оборотов, совершаемых в единицу времени. Круговая (циклическая) частота ω – число оборотов, совершаемых за время, равное 2π. Связь между периодом, частотой и круговой частотой: ω=2πn=2π/T; n=1/T. Связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями:
Гармонические колебания (простейший вид колебаний) – движения, при которых смещение материальной точки (тела) от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса (рис. П 1.5): x=x0×sin(w0t+j0), где x – смещение это удаление материальной точки от положения равновесия в данный момент времени t; x0 – амплитуда колебаний это максимальное удаление материальной точки от положения равновесия; (wt+j0) – фаза колебаний. Периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t; j0 – начальная фаза колебаний. Определяет положение материальной точки в начальный момент времени t=0; w=2p/T=2pn – круговая (циклическая) частота колебаний; T – период колебаний; n – частота колебаний. Скорость при гармоническом колебательном движении (колебательная скорость) – физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная первой производной от смещения по времени:
Ускорение при гармоническом колебании – физическая величина, которая показывает, как изменяется скорость в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:
Сложение гармонических колебаний одного направления (рис. П 1.6) с одинаковыми амплитудами и частотами (x01=x02; w1=w2=w), но разными начальными фазами (j02 ¹ j01), проводят аналитически. Уравнение результирующего колебания имеет вид
где
x1=x01×sinw1t; x2=x01×sinw2t. Уравнение результирующего колебания: x=x1+x2=2x01× где
Частота и период результирующего колебания:
Частота и период изменения амплитуды в этом случае:
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к тому, что траектория движения представляет собой замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу (рис. П 1.8):
1) сложение колебаний с одинаковыми частотами (w1=w2=w), различными амплитудами (x0¹ y0) с начальными фазами j1=j2=0 – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – прямая линия, уравнение которой имеет вид y=(y0/x0)×x; 2) сложение колебаний, начальные фазы j1 и j2 которых отличаются на p/2 (j1 – j2=p/2) – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – эллипс (при равных амплитудах x0=y0 – траектория результирующего движения – окружность) с полуосями, равными, x0 и y0, уравнение которого: (y/y0)2+(x/x0)2=1; 3) сложение колебаний, периоды которых относятся как целые числа – через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в начальное положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия. Основная задача динамики – для данного тела по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на тело. Масса m – физическая величина, характеризующая количество вещества, инертность, гравитационные свойства и энергию материального тела. Массу тела, определяющую его инертные свойства, называют инертной массой. Центр масс (или центр инерции) системы – воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы и определяется радиус – вектором:
где mi и r i – соответственно масса и радиус – вектор i – й материальной точки; n – число материальных точек в системе. Скорость центра масс
где Импульс p ( количество движения) – физическая величина, описывающая свойства движущихся тел, равная произведению массы на скорость: p= m v. Полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс: p= m v c. Покой – частный случай равномерного прямолинейного движения со скоростью v =0. Инерция – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Инерциальные системы отсчета – системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы Ньютона (их уравнения и все следствия). Неинерциальная система отсчета – система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением. Первый закон Ньютона: «Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока равнодействующая всех приложенных сил равна нулю». Сила F – векторная физическая величина, характеризующая воздействие одних тел на другие. В результате действия силы изменяется состояние движения тела (тело приобретает ускорение) или тело деформируется. Сила F в механике – мера механического действия на данное материальное тело (данную материальную точку) других тел (других материальных точек) или полей.
Сложение нескольких сил, действующих одновременно на материальную точку (тело, систему) – производится геометрически. Действие нескольких сил можно заменить действием одной силы, которая называется равнодействующей (рис. П 1.9):
Условие равновесия сил:
На рисунке П 1.10 показано равновесие сил, лежащих в одной плоскости, действующих на материальную точку. Рисунок П 1.11 соответствует равновесию сил, не лежащих в одной плоскости, действующих на материальную точку. Две силы, действующие под углом на одну материальную точку, не могут уравновесить друг друга ни при каких условиях. Так же и три силы, не лежащие в одной плоскости, не могут уравновесить друг друга ни при каких условиях (рис. П 1.12).
Ускорение материальной точки в инерциальных системах отсчета К и К' одинаково:
Второй закон Ньютона – изменение импульса пропорционально приложенной силе и направлено вдоль прямой, по которой действует данная сила (основное уравнение движения в классической динамике):
При Dt®0
При v<<c – ускорение, с которым движется тело прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела:
где При движении по кривой результирующая сила может быть разложена на две составляющие (рис. П 1.13)
где R – радиус кривизны траектории;
m a=F; m a '= F '; F = F '. Третий закон классической динамики – силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга (рис. П 1.14): F 12 = - F 21.
Силы инерции. Обусловлены ускоренным движением системы отсчета по отношению к неподвижной системе. Различают: 1) силы, действующие на тело при ускоренном поступательном движении системы отсчета (рис. П 1.15): m a’ =m a+F ин, где a’ – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета; a – ускорение тела в инерциальной системе отсчета;
2) силы, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (рис. П 1.16):
где F ц – центробежная сила инерции; w – угловая скорость вращающейся системы отсчета; r’ – радиус – вектор тела относительно начала вращающейся системы отсчета; R – перпендикулярная к оси вращения составляющая r’.
F к = 2m×[ v’ ω ], где F к – сила Кориолиса; v’ – скорость движения тела; w – угловая скорость вращающейся системы отсчета. Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета: m a’=F+F ин +F ц+ F к, где F, F ин, F ц, F к – ранее рассмотренные силы, действующие в неинерциальных системах отсчета.
Момент инерции – скалярная физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения – физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси или центра вращения (рис. П 1.18): DI=Dm×r2.
где mi – масса i – й точки; ri – расстояние i – й точки до оси z;
V – объем тела. Теорема Штейнера – момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции того же тела I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями (а): Iz=I0+mа2. На рисунке П 1.20 представлено применение теоремы Штейнера к расчету момента инерции диска относительно оси ОО' параллельной оси О1О1'. Главные оси инерции – три взаимно перпендикулярных свободных оси вращения тела произвольной формы, проходящие через его центр масс.
ç L ê=êpê×l. В векторной форме L= [ r´p ]= где m – масса материальной точки; v – скорость материальной точки; l – плечо (кратчайшее расстояние от направления импульса до оси вращения). Момент импульса системы относительно неподвижной оси вращения z – проекция на эту ось вектора L (момента импульса системы):
где r i, p i – радиус – вектор и импульс i – й материальной точки; n – общее число точек в системе.
L =I ω. Момент силы относительно центра вращения или неподвижной оси вращения – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо (рис. П 1.22): ç M ç = ç F çl, где l – плечо силы – кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра вращения. В векторной форме M= [ r´F ]. Главный или результирующий момент сил относительно неподвижной оси вращения равен векторной сумме моментов слагаемых сил:
Моменты сил относительно осей, которые перпендикулярны и параллельны оси вращения, равны нулю. Основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирующихся) тел, для которых I=const (второй закон динамики для вращательного движения):
Импульс вращающего момента – произведение вращающего момента на время его действия: M× dt=d L. Осциллятор – физическая система, совершающая колебания. Система, у которой величины, описывающие ее, периодически меняются с течением времени. Гармонический осциллятор – механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия, описывающие величины, которой изменяются по гармоническому закону (закону синуса или косинуса). Уравнение движения гармонического осциллятора:
где a=d2x/dt2= -ω02x – ускорение материальной точки; F – возвращающая сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия (F= -mω02x= -kx); x – смещение; k=mω02 – коэффициент возвращающей силы. Он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение. Решение уравнения движения гармонического осциллятора: x=x0×sin(ω0t+φ0). Уравнение гармонических колебаний в комплексном виде:
В теории колебаний принимается, что величина «x«равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом выражении справа.   ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Поступательное движение – движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. При этом все точки тела описывают одинаковые траектории, смещенные относительно друг друга.
Основные понятия и определения кинематики материальной точки и твердого тела, движущегося поступательно:
;
;
;
,
.
.
,
.
Инварианты преобразований – инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения).
Основные кинематические характеристики вращательного движения (рис. П 1.4):
Колебательные движения (колебания) – движения или процессы, обладающие повторяемостью во времени.
.
.
Знак "минус" означает – ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.
– амплитуда результирующего колебания;
– фаза результирующего колебания.
Биения – возникают при сложение колебаний одного направления (рис. П 1.7), с одинаковыми амплитудами (x02=x01), начальными фазами j01=j02=0 и круговыми частотами, мало отличающимися друг от друга (w1» w2). Уравнения таких колебаний имеют вид
,
– амплитуда результирующего колебания, которая зависит от Dw=w1 – w2 – разности частот складываемых колебаний;
– смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону;
,
,
– полный импульс системы.
Закон независимости действия сил: – при действии на тело нескольких сил, каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила, если бы действовала одна.
Принцип суперпозиции сил – допущение, согласно которому результирующий эффект сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что воздействия взаимно не влияют друг на друга. Он применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями.
;
.
.
Ускорение в динамике a – результат действия силы.
; a = a '.
,
.
.
В случае переменной массы
,
– реактивная сила.
; 
,
– тангенциальная составляющая (касательная сила)
– нормальная составляющая (центростремительная сила).
Основной закон классической динамики – инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к другой, при этом
Импульс силы – мера действия силы за некоторый промежуток времени:
.
F ин – сила инерции.
,
3) силы, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (рис. П 1.17):
Основная задача динамики вращательного движения – нахождение угловых ускорений, сообщаемых известными силами.
Момент инерции тела относительно оси z – физическая величина, равная сумме моментов инерции отдельных материальных точек тела относительно той же оси вращения (рис. П 1.19):
; 
,
ρ – плотность вещества, из которого состоит тело;
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения (L) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля импульса на плечо (рис. П 1.21):
[ r´ m v ],
,
Связь момента импульса тела с вектором угловой скорости ω и моментом инерции:
.
M =I∙ ε; 
.
; 
; 
, 
.