Решением этого уравнения является выражение вида

j=j_o sin(wt +a).

Решая дифференциальное уравнение второго порядка, для периода колебаний физического маятника можно получить

,

где – приведенная длина физического маятника.

В рассматриваемом случае момент инерции физического маятника определяем по теореме Штейнера:

I=I₀+mr²,

где I=mR²/2 – момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр тяжести;

r=R/2 – расстояние между осями.

Подставив значения I и для момента инерции диска, будем иметь:

.

Тогда период колебаний диска

,

а частота

.

Размерность полученного результата очевидна. Подставляя численные значения величин, входящих в формулу, и произведя вычисления, находим период и частоту колебаний диска:

с;

Гц.

Ответ: T=1,07с, n=0,94Гц.

22. Два маховика, выполненные в виде дисков радиусом 0,4м и имеющие массу 100 кг каждый, вращающиеся с частотой 480 об/мин, были предоставлены самим себе. Под действием трения валов о подшипники первый маховик остановился через 1 мин 20с; второй маховик до полной остановки сделал 240 оборотов. Определить моменты сил трения вала о подшипники у каждого маховика и сравнить их между собой.

Решение. 1. Найдем момент сил трения, действующий на первый маховик. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

М₁×Dt=Iw₂ – Iw₁,

где M_{1 –} вращающий момент (в данном случае искомый момент силы трения);

Dt – время действия вращающего момента;

I – момент инерции маховика;

w₁ – начальная угловая скорость вращения маховика;

w₂ – его конечная угловая скорость.

Решая это уравнение относительно M, получим:

.

С учетом того, что I=mR²/2, w₁=2pn₁, w₂ =0 окончательно имеем:

.

Подставим в полученное выражение числовые значения входящих в него величин и произведем вычисления:

Нм.

Знак «минус» показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.

2. Найдем момент сил трения, действующих на второй маховик. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

M₂=Ie,

где M₂ – момент сил трения;

I – момент инерции второго маховика относительно оси, проходящей через его геометрический центр;

e – угловое ускорение.

Момент инерции диска можно определить по формуле

.

Для определения углового ускорения воспользуемся кинематическими уравнениями, характерными для замедленного движения:

;

,

где w₀ – угловая скорость маховика до начала действия сил торможения;

w=0 – конечная угловая скорость маховика (он остановился);

j – угловое расстояние, пройденное маховиком до полной остановки.

Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными (e и t) для углового ускорения e, получим

.

Подставляя I и e в ранее полученную формулу для момента сил торможения, окончательно будем иметь

,

где j=2pN, .

Подставим в полученное для M₂ выражение числовые значения входящих величин, произведем вычисления:

Нм.

Чтобы сравнить полученные значения моментов сил трения, найдем отношение их абсолютных значений

.

Таким образом, момент сил трения, действующий на второй маховик, в 1,34 раза больше, чем на первый.

Ответ: M₁= -5 Нм, M₂= -6,64 Нм, M₂/M₁=1,34.

23. В незатухающей бегущей волне задана точка M, отстоящая от источника колебаний на расстоянии y=l/12 в направлении распространения волны. Амплитуда колебаний А=0,050 м. Считая в начальный момент времени смещение точки P, находящейся в источнике, максимальным, определить смещение от положения равновесия точки M для момента времени t=T/6, а также разность фаз колебаний точек M и P.

Решение. Смещение точки М можно найти с помощью уравнения бегущей волны

,

где x – смещение точки от положения равновесия, находящейся на расстоянии y от источника гармонических колебаний;

А – амплитуда колебаний;

w – циклическая частота;

j₀ – начальная фаза колебаний.

Используя условие задачи, преобразуем это уравнение так, чтобы в него вошли длина волны l, и период T колебаний. Учитывая соотношение между периодом колебаний и циклической частотой и равенство , где T – период колебаний, – частота колебаний, получим

. (1)

Чтобы найти начальную фазу j₀, воспользуемся начальными условиями задачи: если t=0, y=0, то x=А. При этих значениях t, y, x из уравнения (1) имеем

.

Откуда

.

Подставив числовые значения величин, А, t/T, y/l, j₀ в уравнение (1), получим первый ответ:

м.

Для вычисления разности фаз (j_М – j_Р) колебаний точек М, Р учтем, что для точки Р координата y=0. Следовательно, в любой момент t фаза точки Р, т.е. аргумент синуса в уравнении (1), равна

.

Тогда

. (2)

Подставив в формулу (2) числовые значения, найдем

.

Знак «минус» в полученном результате указывает на то, что колебания точки М отстают по фазе от колебаний источника на угол .

.

Ответ: x=0,044 м; φ_М-φ_Р=-π/6.

24. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью v=20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x₁=12 м и x₂=15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз Dj=0,75p. Найти длину волны l, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t=1,2 с, если амплитуда колебаний А=0,1 м.

Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, l колеблются с разностью фаз, равной 2p; точки находящиеся на любом расстоянии Dx, колеблются с разностью фаз, равной

.

Решая это равенство относительно l, получаем

. (1)

Подставив числовые значения величин, входящих в выражение (1), и выполнив арифметические действия, получим

м.

Для того чтобы написать уравнение плоской волны, необходимо найти циклическую частоту w. Так как w=2p/T , то

с ^{– 1}.

Зная амплитуду колебаний А, циклическую частоту w и скорость v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:

, (2)

где А=0,1 м; w=5p с ^{– 1}, v=20 м/с.

Чтобы найти смещение указанных точек, достаточно в уравнение (2) подставить значения t и x:

м;

м.

Ответ: м; y₁=-0,1 м; y₂=-0,071 м.

25. Для определения частоты звуковых колебаний был применен интерференционный прибор, изображенный на рис. 44, где T – источник звука; А, В – два колена, представляющие собой полые металлические трубки (колено В – выдвижное); М – слуховая трубка. В зависимости от положения колена В наблюдатель регистрирует с помощью слуховой трубки усиление или ослабление звука. Для того, чтобы перейти от одного минимума звука к следующему, перемещают выдвижное колено на расстояние l=5,5 см. Считая скорость звука в воздухе при температуре опыта равной с=340 м/с, найти частоту звуковых колебаний.

Решение. В точке С (рис. 1.16) происходит интерференция звуковых волн, приходящих сюда от источника Т различными путями: ТАС и ТВС. Результат интерференции волн выражается условиями:

а) максимума

,

б) минимума

,

где n=0, 1, 2, 3¼.

Переместив колено В на расстояние l, изменяют тем самым разность хода волн на величину 2l:

, (1)

где D₁, D₂ – разность хода волн в начальном и конечном положениях колена.

Так как в обоих положениях громкость звука и связанная с ней амплитуда звуковых колебаний минимальны, то каждая из величин D₁, D₂ определяется соотношениями:

; . (2)

При этом, поскольку перемещение колена В соответствует двум соседним минимумам звука, должно выполняться соотношение

. (3)

Учитывая формулу (3), вычтем почленно уравнения (2) друг из друга. Тогда получим

. (4)

Сравнивая выражения (1) и (4), имеем

.

Частоту звуковых колебаний найдем, воспользовавшись соотношением

. (5)

Подставив в формулу (5) числовые значения величин, получим

Гц=3,1 кГц.

Ответ: ν=3,1·10³ Гц=3,1 кГц.

26. Медный стержень длиной l=0,5 м закреплен в середине. Найти частоты возможных собственных продольных колебаний стержня.

Решение. Если какой – либо частице тела сообщить начальный импульс (например, ударить молотком по торцу стержня), то все частицы тела придут в колебательное движение – в теле установятся собственные колебания. Процесс распространения колебаний в закрепленном стержне представляет собой стоячие волны. Эти волны являются результатом интерференции двух встречных систем бегущих волн: падающих на границу данного тела с окружающей средой и отраженных от этой границы.

Частота собственных колебаний в стержне связана с длиной l бегущей волны соотношением

.

При этом скорость с продольных волн в медном стержне можно найти по формуле

,

где E – модуль упругости;

r – плотность материала стержня.

Тогда получим

.

Величины E, r для меди табличные, и задача сводится к определению длин волн, соответствующих собственным колебаниям стержня. Этим колебаниям всегда отвечает такое распределение по длине тела стоячих волн, которое удовлетворяет граничным условиям. На закрепленном конце тела должен быть узел смещений, на свободном конце– пучность. Следовательно, на концах данного стержня должны быть пучности смещений, а посередине его – узел смещений, так как в этом месте стержень закреплен. Один из возможных вариантов распределения стоячих волн по длине стержня изображен на рисунке 1.17. Здесь по оси x отложены расстояния точек стержня от его левого конца, по оси y – смещения точек стержня от положения равновесия, они имеют в некоторый момент времени, участвуя в продольных колебаниях (для поперечных колебаний приведенный график можно рассматривать как «моментальную» фотографию колеблющегося стержня). Пунктиром изображен график смещения спустя промежуток времени, равный Т/2. Точки А, В, С, D, E – узлы стоячей волны.

Из графика видно, что на всей длине стержня (от А до Е) должно укладываться четное число полуволн и еще две четверти волны. Таким образом, имеем

,

где n =0,1,2,3,…..

Отсюда

.

Подставив это значение l в формулу для частоты, получим ответ:

.

Взяв из таблиц значения E=12×10¹⁰ Н/м²; r=8,9×10³ кг/м³ и произведя вычисления найдем

n=3,7×10³×(2n+1) Гц.

Значение n=0 соответствует частоте собственных колебаний n=3,7×10³ Гц; значение n=1,2,3… соответствуют высшим гармоническим частотам.

Ответ: n=3,7×10³×(2n+1) Гц.

27. Источник звука частотой 18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну l=1,75 см. Какой скоростью должен обладать источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура воздуха 17 ⁰С.

Решение. Согласно принципу Доплера, частота звука, воспринимаемая наблюдателем, зависит от скорости движения источника звука и скорости движения наблюдателя

, (1)

где n – частота звуковых волн, излучаемых источником;

с – скорость звука в данной среде;

u – скорость движения источника звука;

v – скорость движения наблюдателя;

n^' – частота волн, воспринимаемых наблюдателем.

Учитывая, что наблюдатель остается неподвижным, т.е. что v=0, из формулы (1) получим

. (2)

Отсюда

. (3)

В выражении (3) неизвестны числовые значения скорости звука c и частоты n^'.

Скорость звука в газах зависит от природы газа и от температуры и определяется по формуле

, (4)

где – отношение молярных теплоемкостей газа;

R – универсальная газовая постоянная;

T – абсолютная температура газа;

m – молярная масса газа.

Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колебания, частота воспринимаемых резонатором волн n^' должна совпадать с собственной частотой резонатора n_рез, т.е.

, (5)

где l_рез – длина волны собственных колебаний резонатора.

Подставив выражение c из формулы (4) и n^' из формулы (5) в формулу (3), получим

или

. (6)

Подставив числовые значения в соотношение (6), будем иметь

м/с.

Ответ: u=36 м/с.

28. Источник Т звука частоты n=400 Гц движется со скоростью u=2,0 м/с, удаляясь от неподвижного приемника М звука и приближаясь при этом к стене АВ (рис. 1.18). Определить частоту биений, регистрируемых приемником звука. Скорость звука с=340 м/с.

Решение. Биения возникают в результате сложения колебаний с мало различающимися частотами. При этом частота биений равна разности частот слагаемых колебаний. Выяснить происхождение биений в данном случае можно из следующих рассуждений.

Приемника М достигают звуковые волны непосредственно от источника Т, а также волны, отраженные от стены. Дойдя до приемника, эти две системы волн возбудят в нем колебания разных частот. Действительно, источник Т звука удаляется от неподвижного приемника М. Вследствие эффекта Доплера, приемник зарегистрирует колебания частоты n^'¹n. При этом

,

где с – скорость звука;

u – скорость источника;

v – скорость приемника.

В рассматриваемом случае, скорость приемника М звука v=0. Учитывая, что согласно правилу знаков, скорость источника u<0, поскольку источник удаляется от приемника, получим

. (1)

В то же время источник звука приближается к стене. Поэтому частоту колебаний n^'', воспринимаемых стеной, (v=0, u>0) можно определить по формуле

. (2)

Воспринимая колебания частоты n^'', стена сама становится источником звуковых волн такой же частоты n^'', которые, дойдя до приемника М, возбудят в нем колебания частоты n^''. Эти колебания належатся на колебания частоты n^' и в результате возникнут биения, частоту которых n_б=n^'' – n^' найдем, используя формулы (1) и (2):

. (3)

Подставив численные значения в формулу (3) получим

Гц.

Ответ: ν_б=4,7 Гц.

29. От источника, расположенного у поверхности Земли, распространяются звуковые волны. Через какой промежуток времени они достигнут высоты h=10,0 км, если температура воздуха у поверхности Земли t₀=16 ⁰С, а градиент температуры в атмосфере К/м.

Решение. Чтобы найти время распространения волны, зная ее перемещение h, необходимо определить скорость звука в вертикальном направлении. Скорость звука в воздухе определяется формулой

,

где p – давление газа не возмущенного волной;

r – плотность газа не возмущенного волной;

g – отношение молярной теплоемкости газа при постоянном давлении к молярной теплоемкости газа при постоянном объеме. В рассматриваемом случае g=1,4.

При этом скорость звука зависит от температуры воздуха. Действительно, поскольку , то применив уравнение газового состояния , получим

. (1)

По условию задачи температура воздуха зависит от высоты. Эту зависимость можно записать так:

, (2)

где Т – температура на высоте h;

– градиент температуры, показывающий прирост температуры (в данном случае отрицательный) на каждый метр высоты.

Подставив значение T из формулы (2) в формулу (1), имеем

. (3)

Таким образом, действительно скорость звука зависит от высоты.

Чтобы найти искомое время, будем рассматривать движение звуковой волны как переменное движение. При таком движении в любой момент времени . Следовательно, имеем

.

Откуда

.

Полученное выражение является дифференциальным уравнением, выражающим зависимость времени от высоты.

При изменении времени от 0 до t высота изменяется от 0 до h. Следовательно,

.

Откуда

.

Подставив в полученную формулу числовые значения величин, выраженные в единицах системы СИ, выполнив вычисления, получим

с.

Ответ: t=30 с.

30. Источник звука небольших размеров имеет мощность 1,00Вт при частоте n=400 Гц. Считая, что звук распространяется от источника одинаково во все стороны в воздухе, находящемся при нормальных условиях, и, пренебрегая поглощением звука, определить амплитуду звукового давления, а также амплитуды скорости и смещения частиц воздуха на расстоянии r=100 м от источника звука.

Решение. Амплитуда звукового давления Dp₀ (т.е. амплитуда колебаний давления воздуха в каждой точке, через которую проходит звуковая волна) связана соотношением

, (1)

где I – интенсивность звука, т.е. энергия, переносимая звуковой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны;

r – плотность газа.

Интенсивность I звука связана с мощностью N источника в свою очередь выражением:

, (2)

где r – расстояние от источника до точки, в которой определяется величина I.

Формула (2) вытекает из определения интенсивности звука. При этом важно, что согласно условию задачи, от источника звука распространяются сферические волны. Поэтому в знаменателе формулы (2) стоит площадь поверхности сферы, сквозь которую проходит вся звуковая энергия, испускаемая источником. Подставляя формулу (2) в формулу (1), имеем

. (3)

В общем случае величины c, и r вычисляются по формулам

и .

Так как по условию задачи воздух находится при нормальных условиях, то значения c и r возьмем из таблиц.

Используя соотношение , и формулу (3) для амплитуды скорости звуковой волны, получим

, (4)

где v₀ – амплитуда скорости частиц в звуковой волне.

Принимая во внимание связь между амплитудой колебаний и скоростью частицы, совершающей гармоническое колебание: , найдем амплитуду смещения частиц воздуха в звуковой волне:

. (5)

Подставив в формулы (3), (4), (5) рассчитаем искомые величины Dp₀, v₀, А

Па;

м/с;

м.

Ответ: Δp₀=8,3·10^-2 Па; v₀=1,9·10^-4 м/с; А=7,6·10^{-8 м.}

31. На расстоянии r₁=10 м от источника сферических звуковых волн частоты 1000 Гц уровень громкости L_N1=40 фон. Найти наибольшее расстояние r₂, на котором звук еще слышен.

Решение. Заметим, что в задаче дан звук стандартной частоты n=1000 Гц. Поэтому для уровня громкости звука можно записать

, (1)

где I – интенсивность данного звука.

Так как каждому из двух расстояний r₁ и r₂ соответствуют некоторая интенсивность звука I и, следовательно, определенный уровень громкости L_N, то можно записать:

; (2)

. (3)

Считая, что звук распространяется одинаково во все стороны, воспользовавшись формулой , будем иметь

. (4)

Выразив из уравнений (2), (3) отношение и подставив его в формулу (4), получим

. (5)

Так как расстояние r₂ по условию задачи соответствует порогу слышимости, то в формуле (3) необходимо считать I₂=I₀. Следовательно, L_N2=0. Тогда из выражения (5), имеем

.

Подставив численные значения, получим

м.

Замечание. Если частота звука существенно отличается от n=1000 Гц, приведенное решение оказывается неверным. Действительно для уровня громкости вместо формулы (1) необходимо записать

.

Во всех формулах задачи величины I₁, I₂ необходимо заменить соответственно величинами I_N1, I_N2. В этом случае в отличие равенства (4) будем иметь

.

Поскольку величина I_N является также функцией частоты звука (так как ухо человека неодинаково чувствительно к звукам разных частот).

Правильный путь решения задачи для случая любой звуковой частоты связан с использованием соотношения (4) и графика, на котором представлено семейство кривых равного уровня громкости. Например, если частота звука равна 100 Гц, то по графику уровней громкости, зная частоту и уровень громкости (I_N1=40 фон), найдем, что при данной частоте интенсивность звука I₂=8×10^-9 Вт/м². Подставляя значения I₁, I₂ в формулу (4) и произведя вычисление, получим r₂=0,25 м.

Ответ: r₂=10³ м.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: