По закону сохранения энергии

Так как грузы двигались равноускоренно, то

Подставив значение скорости, решая полученное уравнение

Отношение масс в правой части полученной формулы – величина безразмерная. Поэтому числовые значения масс m₁, m₂ и m можно взять в граммах, как они даны в условии задачи. Числовое значение ускорения g надо взять в единицах системы СИ. Размерность полученного результата очевидна. После подстановки получим

18. Тонкий однородный стержень длиной ℓ может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему. Стержень отклонили на 90⁰ от положения равновесия и отпустили. Определить скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения положения равновесия.

Решение. Стержень поворачивается вокруг оси под действием момента силы тяжести. Так как при опускании стержня этот момент уменьшается, вращение стержня не будет равнопеременным, поэтому применение основного уравнения динамики вращательного движения здесь нецелесообразно.

Воспользуемся законом сохранения энергии. Так как в данном случае отсутствуют силы трения, энергия стержня (точнее, системы стержень–Земля) не изменяется при его движении, поэтому

где

–потенциальная энергия поднятого стержня,, если принять нулевой уровень отсчета высоты ОО^', (рис. 2.14) проходящим через центр тяжести стержня в его нижнем положении;

–кинетическая энергия его вращательного движения.

Приравнивая правые части последних равенств и учитывая, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, на основании теоремы Штейнера равен

19. Система, состоящая из цилиндрического катка радиуса R и гири, связанных нитью, перекинутый через блок (рис. 2.15.), под действием силы тяжести гири приходит в движение из состояния покоя. Определить ускорение а центра инерции катка и силу натяжения Т нити. Какую скорость v приобретет гиря, если она опустится с высоты h? Масса цилиндра М, масса гири m, массой блока пренебречь. Считать, что цилиндр катится по горизонтальной поверхности без скольжения. Трением качения пренебречь.

Решение. Анализируя условие задачи, выясняем, что на каток действует сила трения. Несмотря на это, к системе каток–гиря можно применить закон сохранения механической энергии, поскольку эта сила – сила трения покоя. В отличие от силы трения скольжения и трения качения эта сила не совершает работы, связанной с убылью механической энергии системы.

Начальная энергия системы W₁ есть потенциальная энергия системы поднятая гиря–Земля. При этом, поскольку потенциальная энергия системы каток–Земля во время движения катка не изменяется, то ее можно не учитывать при составлении уравнения, выражающего закон сохранения энергии. Выберем нулевой уровень отсчета высоты проходящим через центр тяжести опущенной гири (xx^'). Тогда получим

Будем рассматривать качение цилиндра как результат двух движений: поступательного со скоростью центра инерции и вращательного вокруг оси, проходящей через центр инерции. Тогда конечная энергия системы, когда гиря опустится с высоты h, будет равна

Первые два члена в правой части формулы (2) выражают кинетическую энергию поступательного и вращательного движений катка. На основании закона сохранения энергии (

) имеем

Учитывая соотношения

, из уравнения (3) найдем скорость гири:

Определим ускорение центра инерции катка, равное ускорению гири, приняв во внимание, что рассматриваемая система движется под действием постоянных сил и, следовательно, ее ускорение постоянно. Сравнивая выражение (4) с формулой скорости равнопеременного движения

, для ускорения получим

Для вычисления силы натяжения Т нити еще раз воспользуемся законом сохранения энергии. На основании этого закона работа, совершенная силой Т, приложенной к центру инерции катка, при перемещении последнего на расстояние ℓ=h равна кинетической энергии, полученной катком при этом перемещении, т.е.

Отсюда, учитывая соотношения

, найдем силу Т:

20. Частица массой m=0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом T=2с. Полная энергия колеблющейся частицы W=0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы

Подставив значения k и w в формулу полной энергии, выразим амплитуду

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением

Максимальное значение сила приобретает при максимальном смещении, равном амплитуде, т.е.

Коэффициент k выразим через период колебаний:

Подставив в уравнение для максимальной силы значения k и А, после сокращений и упрощений, получим

Проверив размерность полученных результатов, подставим числовые значения величин, произведем вычисления:

21. Определить вторую космическую скорость ракеты, запущенной с поверхности Земли.

Решение. Второй космической (или параболической) скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при этом сопротивление воздух в расчет не принимается и предполагается, что на тело действует только поле тяготения Земли).

При удалении тела массой m в бесконечность его потенциальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энергии и в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю. Согласно определению второй космической скорости, кинетическая энергия в бесконечности также равна нулю. Таким образом, в бесконечности W_pб=0 и W_kб=0. В соответствии с законом сохранения энергии в механике

Преобразуем полученную формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R:

где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли, то

Подставив в эту формулу значения g и R и производя вычисления, получим

22. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,4 ×10⁶ м)? Силами, кроме гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение. Чтобы определить минимальную скорость v₁ ракеты, надо найти ее минимальную кинетическую энергию W_k. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон выполняется для замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы. Систему "ракета – Земля" можно считать замкнутой. Единственная сила, действующая на систему, – сила гравитационного взаимодействия, является консервативной.

В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему отсчета, так как только в такой системе справедливы законы динамики и, в частности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерциальной. В рассматриваемом случае центр масс системы «ракета – Земля» будет практически совпадать с центром Земли, так как масса Земли M много больше массы m ракеты. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно практически считать инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии, запишем

где W_p1 и W_{k1 –}кинетическая и потенциальная энергии системы "ракета-Земля" в начальном состоянии (на поверхности Земли);

W_p2 и W_k2 – те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли).

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому W_k1 есть просто начальная кинетическая энергия ракеты

Потенциальная энергия системы в начальном состоянии (потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю)

По мере удаления ракеты от поверхности Земли потенциальная энергия W_p будет возрастать, кинетическая энергия – убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия W_k станет равной нулю, потенциальная энергия W_p при r=2R достигнет значения

Подставив значения W_k1, W_p1, W_k2, W_p2в выше написанную формулу закона сохранения механической энергии, будем иметь

Подставив числовые значения величин, и произведя вычисления, получим

Полученный результат совпадает с выражением для первой космической скорости.

23. Найти выражение для потенциальной энергии W_p гравитационного взаимодействия Земли и тел массой m, находящегося на расстоянии r от центра Земли за пределами ее поверхности.

Решение. Потенциальная энергия в поле консервативных сил (гравитационные силы консервативны) связана с силой, следующим соотношением:

где i, j, k – единичные векторы осей координат (орты);

– частные производные потенциальной энергии по соответствующим координатам.

В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией, это выражение упрощается. Если ось x совместить с радиус-вектором r, направленным по радиусу сферы, то

Так как векторы r и i совпадают, то W_p зависит только от r

Запишем в векторной форме закон всемирного тяготения:

Сравнивая вышеприведенные выражения, найдем

Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим

Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой произвольной постоянной.

1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друг тел равной нулю, то постоянная C обращается в нуль. В этом случае запишем

2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на поверхности Земли, то

Так как r =R+h, где h – высота тел над поверхностью Земли, то

24. В гравитационном поле Земли тело массой m переместилось из точки 1 в точку 2. Определить скорость v тела в точке 2, если в точке 1 его скорость равна

=7,9 км/с. Ускорение свободного падения g=9,8 м/с².

Решение. Система "тело – Земля" является замкнутой, в которой действует консервативная сила – сила гравитационного взаимодействия. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии (инерциальную систему свяжем с центром масс системы). Тогда можно записать

где W_k1, W_p1 и W_k2, W_p2 – соответственно кинетические и потенциальные энергии в начальном и конечном состояниях. Заметим, что центр масс системы практически совпадает с центром масс Земли (m<M), и поэтому кинетическая энергия Земли в начальном и конечном состояниях равна нулю. Тогда

Подставив эти выражения в закон сохранения механической энергии, получим

25. Вычислить работу А₁₂ сил гравитационного поля Земли при перемещении тел массой m=10 кг из точки 1 в точку 2. Точка 1 находится на расстоянии r₁=3R, а точка 2 на расстоянии r₂=2R (рис. 2.16). Радиус Земли и ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли считать известными.

Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением между работой А и изменением DW_p потенциальной энергии. Так как силы системы (гравитационные силы) относятся к силам консервативным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциальной энергии, т.е.

где W_P1 и W_P2 потенциальные энергии системы "тело – Земля" соответственно в начальном и конечном ее состояниях.

Условимся, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли равно нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, тогда на расстоянии r потенциальная энергия выразится равенством

Для расстояний r₁=3R и r₂=2R, заданных в условии задачи, получим два выражения потенциальной энергии

Подставив эти выражения в формулу А=– DW, получим

Заметив, что

, преобразуем последнее выражение к виду

Подставив значения m, g, R в это выражение и произведя вычисления, найдем

26. С какой скоростью движется Земля вокруг Солнца? Принять, что Земля движется по круговой орбите.

Решение. На тело, движущееся по круговой орбите, действует центростремительная сила, величина которой определяется формулой:

В рассматриваемом случае центростремительной силой является сила притяжения между Землей и Cолнцем, которая определяется формулой:

R – расстояние центра Земли от центра солнца (равно радиусу кривизны орбиты).

Приравняв произведение массы на центростремительное ускорение к силе притяжения, получим уравнение:

Подставив в это выражение числовые значения входящих в него величин, и производя вычисления, находим:

27. С какой скоростью должна быть выброшена с поверхности Солнца частица, чтобы она могла удалиться в бесконечность?

Решение. Частица должна быть выброшена с такой скоростью v, чтобы соответствующая этой скорости кинетическая энергия была равна работе А, совершаемой против сил притяжения частицы к Солнцу при удалении ее в бесконечность, т.е., чтобы

или

Для вычисления работы, совершаемой против силы притяжения при удалении тела от Солнца, используем правило нахождения работы переменной силы. Элементарная работа против силы притяжения F при удалении на dr определяется соотношением:

Работа, которую нужно совершить, чтобы удалить тело с поверхности Солнца в бесконечность, будет равна:

Подстaвив полученное формулу для рaботы А в формулу для скорости, будем иметь:

После подстановки в полученное выражение численных значений входящих в нее величин, находим численное значение скорости

28. Ракета, летевшая над поверхностью Земли на высоте h, в результате кратковременного действия мощной тормозной установки останавливается. С какой скоростью упадет ракета на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. После прекращения работы тормозной установки на ракету действует лишь гравитационное поле Земли. Это поле потенциально: полная энергия тела, движущегося в этом поле, равная сумме его кинетической и потенциальной энергий, сохраняется.

На основании закона сохранения, примененного к системе ракета–Земля, следует, что падающая ракета приобретает кинетическую энергию за счет убыли потенциальной энергии в поле тяготения Земли, т.е.

где

– кинетическая энергия ракеты у поверхности Земли:

– изменение потенциальной энергии ракеты за время ее падения из точки 1 в точку 2 (рис. 2.17).

Потенциальная энергия ракеты в соответствующих точках, равна:

h – начальное расстояние ракеты над поверхностью Земли.

29. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы забросить тело (ракету) массы m^'=1000 кг с поверхности Земли на Луну (рис. 2.18)? Считать, что при перемещении тела взаимное положение Луны и Земли не меняется. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Известно, что на прямой соединяющей центры Земли и Луны, находится точка, в которой гравитационные поля Земли и Луны уравновешиваются. Эта точка С делит весь путь ракеты на две части. На первом участке от Земли до точки С сила тяготения суммарного гравитационного поля Земли и Луны направлена к Земле, на втором участке от точки С до Луны – к Луне. Очевидно, на первом участке необходимо совершить работу против силы тяготения, на втором участке – для мягкой посадки ракеты нужно совершить работу с целью погашения скорости ракеты, подлетающей к Луне. Работа будет минимальной, если ракета достигнет точки С с минимальной скоростью, необходимой для дальнейшего движения. Эту скорость, а значит, и кинетическую энергию в точке С можно считать равной нулю, ибо, достигнув точки С с любой, сколь угодно малой скоростью, ракета тут же начнет двигаться ускоренно к Луне. Таким образом, работа будет совершаться только на увеличение потенциальной энергии ракеты в суммарном поле тяготения Земли и Луны. Поэтому она может быть вычислена по формулам

Так как второе соотношение определяет работу сил поля, а по условию задачи необходимо определить работу против сил поля, то для искомой величины запишем

где φ₁ и φ₂ – потенциалы гравитационного поля у поверхности Земли и в точке С.

Чтобы правильно вычислить потенциалы φ₁ и φ₂, необходимо учитывать, что ракета все время движется в суммарном гравитационном поле Земли и Луны.

Из принципа суперпозиции (наложения) полей следует, что потенциал в каждой точке пространства, в которой существуют несколько полей, равен сумме потенциалов каждого поля в отдельности. Таким образом, для каждой точки потенциал суммарного поля

где

– потенциалы полей тяготения Земли и Луны в этой точке.

Потенциал гравитационного поля (поля тяготения) определяется соотношением

где

– потенциальная энергия частицы (тела) массой m^' помещенной в данную точку поля;

m – масса тела, создающего гравитационное поле;

r – расстояние между центрами масс взаимодействующих тел.

Можно показать, что расстояние точки С, в которой гравитационные поля Земли и Луны уравновешиваются x=54R, R – радиус Земли.

Учитывая формулу (3) и расстояние x для потенциалов φ₁ и φ₂, получим:

Подставив эти значения в формулу (1), получим

где –

Дж/кг – абсолютное значение потенциала гравитационного поля Земли у ее поверхности;

После подстановки в полученное выражение численных значений входящих в нее величин, находим

Замечание. Если вычислить искомую работу по формуле (1), применив ее для всего пути от Земли до Луны, т.е. считать φ₁ потенциалом поля у поверхности Земли, а φ₂ – потенциалом поля у поверхности Луны, то будет получен неверный ответ. Дело в том, что в результате перемещения ракеты от Земли к Луне возрастает не только его потенциальная энергия, но и кинетическая: если движение началось из состояния покоя, то в конце пути тело, разогнанное силой притяжения к Луне, будет обладать определенной скоростью. Работа, совершенная над телом, равна изменению «полной» энергии тела, а не только потенциальной. Однако формула (1) выражает только работу, которая обусловлена изменением потенциальной энергии тела в поле тяготения, поэтому не дает правильного ответа, если ее применить для всего пути движения тела от Земли до Луны.

30. Ракета, летевшая по круговой орбите на высоте h от поверхности Земли, в результате кратковременного действия тормозной установки уменьшила свою скорость и начала снижаться. Двигаясь все время под действием силы тяжести, ракета достигает Земли, причем ее скорость в этот момент направлена по касательной к земной поверхности. Определить время спуска ракеты.

Решение. Движение ракеты в поле тяготения Земли, как и движение тела во всяком центральном поле, подчиняется законам Кеплера. Из первого закона Кеплера следует, что во время спуска ракета двигалась по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр

земного шара (рис. 2.19). Поскольку под действием тормозной установки изменился лишь модуль скорости, но не ее направление, можно сделать вывод, что в момент начала спуска скорость ракеты была перпендикулярна ее радиус–вектору. Таково же направление скорости ракеты относительно радиус–вектора в конце спуска., так как по условию в этот момент ракета двигалась по касательной к поверхности.

Существуют лишь две точки эллипса (точки А и В, рис. 2.19), в которых радиус–вектор перпендикулярен касательной к кривой. Эти точки лежат на большой оси эллипса, являющейся осью его симметрии.

Так как скорость ракеты направлена по касательной к траектории, то можно сделать вывод, что траектория ракеты на участке ее спуска представляет собой половину эллипса. Следовательно, применив третий закон Кеплера, можно определить время спуска ракеты.

Для этого сопоставим движение двух тел в поле тяготения Земли: ракеты и Луны, имея ввиду, что для Луны период ее обращения Т_Л и радиус орбиты R_Л (принимаем приближенно движение Луны круговым) известными. По третьему закону Кеплера имеем

Как видно из рисунка 2.37, где R₀ – радиус Земли,

Учитывая, что время t спуска ракеты равно половине периода Т ее обращения, из уравнений (1) и (2) найдем

31. Космический корабль движется со скоростью v=0,9c по направлению к центру Земли. Какое расстояние l пройдет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (К –система), за интервал времени Dt₀=1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле (К ^'–система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Примечание. В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси y, y^' и z, z^' сонаправлены, а относительная скорость v₀ системы координат K^' относительно системы K направлена вдоль общей оси xx^' (рис. 2.20).

Решение. Расстояние l, которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (К –система), определяется по формуле

где Dt – интервал времени, отсчитанный в К –системе отсчета.

Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитанным в К ^'–системе, соотношением

где Dt₀ – интервал времени, отсчитанный по часам в К^' –системе;

v – относительная скорость движения К^' –системы по отношению к К -системе;

с – скорость распространения света в вакууме.

Подставив числовые значения и произведя вычисления, будем иметь

32. В лабораторной системе отсчета (К –система) движется стержень со скоростью v=0,8с. По измерениям, произведенным в К -системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол j, который он составляет с осью x, оказался равным 30^о. Определить собственную длину l₀ стержня в К ^'–системе, связанной со стержнем, и угол j₀, который он составляет с осью x^' (рис. 2.21).

Решение. Пусть в К ^'–системе стержень расположен в плоскости x^'O^'y^'. Из рисунка 2.21 а следует, что собственная длина l₀ стержня и угол j₀, который он составляет с осью x^', выразятся равенствами

В К -системе те же величины окажутся равными (рис. 2.18 б)

При переходе от системы К ^' к системе К размеры стержня в направлении оси y не изменятся, а в направлении оси x претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т.е.

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством

Заменив в этом выражении Dy на l×sinj (рис. 2.21 б), получим

Для определения угла j₀ воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

Подставив значения величин в выражения (4) и (5), произведя вычисления, получим

33. Кинетическая энергия электрона W_k=1 МэВ. Определить скорость электрона, если его энергия покоя W₀=0,511 МэВ.

Решение. Для решения задачи воспользуемся релятивистской формулой для определения кинетической энергии в виде

Выполнив относительно b преобразования формулы (1), найдем скорость электрона, в долях скорости света

С учетом того, что

для скорости электрона, будем иметь:

Подставив значения величин в выражение (3), произведя вычисления, получим

Примечание. Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией W_k релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя.

Если

, частицу можно считать классической. В этом случае релятивистская формула (2) переходит в классическую формулу:

34. Определить релятивистский импульс p и кинетическую энергию T электрона, движущегося со скоростью v=0,9c (где c – скорость света в вакууме).

В релятивистской механике кинетическая энергия, как правило, обозначается T, а энергия покоя E₀ и полная энергия E, кроме того, кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией и энергией покоя этой частицы, т.е.

Так как

, то, учитывая зависимость массы от скорости, получим

Взяв из таблиц постоянные величины, после подстановки численных значений в формулы (1) и (2) и произведя вычисления, будем иметь

35. Релятивистская частица с кинетической энергией

, где m₀ – масса покоя частицы, испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу m движущейся частицы; 2) релятивистскую массу m^' и массу покоя

составной частицы; 3) ее кинетическую энергию T^'.

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии релятивистской частицы

. Так как

, т

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: