Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.

Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах.
Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле:

F_гл = √[(ΣX)² + (Y)²] (здесь и далее √ - знак корня),

а направляющий косинус – по формуле cos (F_гл, x) = F_глХ / F_гл.

Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, следовательно,

М_гл = m₁ = m₂ + m₃ +....+ m_n = M_O(F₁) + M_O(F₂) + M_O(F₃) +....+ M_O(F_n), или

Эту пару с моментом М_гл назовем главным моментом заданной системы сил.

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Таким образом, всякая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил, следовательно, теорема доказана.

Не следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение, введенной для удобства доказательства, и что их можно найти только с помощью вычислений. Нередко отдельно действующие на тело силы определить трудно или даже невозможно, а главный вектор или главный момент этих сил найти сравнительно легко. Так, например, число точек контакта и модули сил трения между вращающимся валом и подшипником скольжения, как правило, неизвестны, но главный момент этих сил можно определить простым измерением.
Еще один пример: в характеристику электродвигателя входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент, являющийся, по сути, главным моментом этой силы.

Свойства главного вектора и главного момента

Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:

1. модуль и направление главного вектора данной системы не зависят от выбора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой многоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;

2. величина и знак главного момента в общем случае зависят от выбора центра приведения (кроме случая, рассмотренного далее, когда F_гл = 0, а М_гл ≠ 0), так как при перемене центра приведения изменяются плечи сил, а их модули остаются неизменными;

3. главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны. Пусть известны главный вектор F_гл и главный момент М_гл какой-либо плоской системы сил (рис.4а).
Определим равнодействующую этой системы.

Пользуясь известным свойством пары сил, преобразуем главный момент М_гл так, чтобы силы пары F и F_Σ (рис. 4б) были равны по модулю и параллельны главному вектору F_гл:

причем сила F приложена в точке О противоположно F_гл.
Далее систему (F_гл, F), как взаимно уравновешенную, отбросим:

В результате получим одну силу F_Σ, эквивалентную главному вектору и главному моменту, т. е. равнодействующую системы, причем F_Σ = F_гл.

Модуль равнодействующей можно определить по формуле:

а положение линии действия равнодействующей определяется плечом d по формуле:

В результате можно считать установленным, что главный вектор и равнодействующая векторно равны, но не эквивалентны.

4. главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю. Это возможно лишь в случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей. Из приведенного выше рисунка видно, что момент равнодействующей F_Σ относительно центра приведения О равен моменту М_гл пары (F_Σ,F), т.е. главному моменту данной системы:

Так как М_гл = ΣМ_О(F_i), а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия сил данной системы, то всегда имеем:

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Теорема:момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый П. Вариньон (1654-1722), поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Применим доказанную теорему для определения положения линии действия равнодействующей F_Σ плоской системы n параллельных сил:

Выберем какую-либо точку О плоскости действия сил за центр моментов и согласно теореме Вариньона запишем:

ΣМ_O(F_i) = М_O(F_Σ) = F_Σd, где: d – плечо равнодействующей F_Σ относительно точки О.

d = ΣМ_O(F_i) / F_Σ = ΣМ_O(F_i) / ΣF_i, так как F_Σ = ΣF_i.

Чтобы установить, в какую сторону от точки О следует на перпендикуляре к линиям действия сил отложить плечо d, следует учесть направление вектора F_Σ и знак ΣМ_O(F_i).

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: