Лекция 60. Геометрические величины: связь величин

Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики. Объем тела и его измерение. Пропорциональная зависимость между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.).

Понятие величины, принимающей различные численные значения, является отражением изменяемости окружающей нас действитель­ности. Но всевозможные изменения в реальном мире не происходят не зависимо друг от друга. Изучение этих связей посредством изу­чения зависимостей между величинами является способом приме­нения математики для решения практических задач, способом математизации знаний.

Зависимости между величинами многообразны. Их изучают различные науки. Мы будем говорить в основном о тех, с которыми встречаются учащиеся в начальном курсе математики. Рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолинейным движением - время, скорость и расстояние. Зависимость между временем (t), скоростью (v) и расстоянием (S), пройденным телом при прямолинейном равномерном движении, может быть выражена формулой S = v · t.

Если движение таково, что скорость принимает одно и то же значение, то зависимость пройденного расстояния от времени прямо пропорциональная, так как выражается формулой вида.у = kх (S = v · t)/ Пере­менная х есть время движения, а переменная у — пройденное раcстояние/ Коэффициент k обозначает скорость движения.

Прямо пропорциональная зависимость между временем и пройденным рассто­янием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьша­ется) время движения, во столько же раз увеличивается (умень­шается) пройденное расстояние.

Зависимость расстояния прямолинейного равномерного движения от времени (при постоянной скорости) может быть и линейной, т. е. она может выражаться формулой вида у = kх + b, где k и b — некоторые данные числа.

Рассмотрим в качестве примера такую задачу: «Туристы за день прошли пешком 18 км, а остальной путь проехали на автобу­се со скоростью 45 км/ч. Какой путь проделали туристы за день, если на автобусе они ехали 2 ч? 3 ч? 4ч?»

Если туристы на автобусе ехали 2 ч, то всего за день они проделали путь

5 = 18 км + 45 км/ч · 2 ч =18 км + 90 км = 108 км.

Если они ехали на автобусе 3 ч, то всего за день они про­делали путь

S =18 км + 45 км/ч · 3 ч = 153 км.

За 4 ч они про­делали путь 5 = 18 км + 45 км/ч · 4 = 208 км.

Видим, что зависимость между временем и пройденным расстоя­нием линейная, так как она может быть представлена формулой вида S = v · t. + Sо, где Sо = 18 км, а v == 45 км/ч.

Если среди величин S, v, t две величины — скорость и время — принимают различные значения, а расстояние постоянно, то зависимость между скоростью и временем движения обратно пропорциональная, так как может быть выражена формулой у = k: х, где переменная х есть скорость движения, переменная у — время движения (или наоборот), достоянная k есть расстояние, которое на­до пройти телу.

Обратно пропорциональная зависимость между скоростью и временем движения обладает свойством: во сколько раз увеличивает­ся (уменьшается) скорость движения, во столько же раз уменьшается (увеличивается) время, затраченное на движение.

Знание зависимости между величинами, данными в текстовой задаче, позволяет находить различные способы ее решения. Рас­смотрим, например, задачу: «Из двух городов выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Один мотоциклист двигался со скоростью 90 км/ч и проехал до встречи 180 км. Какое расстояние проехал до встречи другой мотоциклист, если он двигался со скоростью 45 км/ч?»

В задаче речь идет о движении мотоциклистов. Оно харак­теризуется тремя величинами: скоростью, временем и расстояни­ем. Согласно условию задачи значения времени движения одинако­вы, а скорость и расстояние принимают различные значения. За­висимость между этими последними величинами может быть выра­жена формулой

у = k · х (S = v · t) и, значит, S и v — величины прямо пропор­циональные.

Задача может быть решена двумя арифметическими способами.

1 способ сводится к отысканию коэффициента (t — времени движе­ния мотоциклистов). Зная его и скорость движения второго мото­циклиста, нетрудно найти и расстояние, пройденное им. Чтобы найти время движения мотоциклистов, разделим расстояние, пройденное первым мотоциклистом, на скорость движения: 180 км: 90 км/ч==2 ч. Умножив скорость второго мотоциклиста на время его движения, по­лучим путь, пройденный им: 45 км/ч-2 ч = 90 км.

2 способ решения этой же

. Значит, и путь, пройденный вторым мотоциклистом, в 2 раза меньше пути, пройденного первым:

180 км: 2 = 90 км.

Рассмотрим еще такую задачу: «Скорость машины 60 км/ч, скорость велосипедиста в 5 раз меньше. Велосипедист про­ехал расстояние от своего села до железнодорожной станции за 2 ч. За сколько минут можно проехать это расстояние на машине?»

В задаче речь идет о трех величинах: скорости, времени и расстоянии. Две из них — скорость и время — принимают различ­ные значения, а третья величина — расстояние — постоянна. Зави­симость между скоростью и временем обратно задачи основан на свойстве прямой пропорциональности: найдем: во сколько раз скорость дви­жения второго мотоциклиста меньше скорости движения первого.

90 км/ч: 45 км/ч = 2 раза пропорциональна, так как может быть выражена формулой t = S: v.

I способ решения этой задачи сводится к отысканию коэф­фициента S, т. е. расстояния от села до железнодорожной стан­ции. Зная его и скорость движения машины, можно будет най­ти и время ее движения.

Найдем сначала скорость велосипедиста: 60 км/ч: 5 = 12 км/ч, а затем расстояние от села до станции: 12 км/ч · 2 ч =24 км, и, на­конец, время, за которое машина пройдет 24 км: 24 км: 60 км/ч = 24 мин.

Можно было поступить иначе, выразив скорость движения ма­шины в другой единице — км/мин. Так как 1 км/ч = 1\60 км/мин, то 60 км/ч = 60 · 1/60 км/мин =1 км/мин. Значит, 24 км:1 км/мин = 24 мин. '

2 способ решения этой задачи основан на свойстве обратной пропорциональности: поскольку скорость машины в 5 раз больше ско­рости велосипедиста, то времени для машины надо в 5 раз мень­ше, т. е. 2 ч =2 · 60 мин = 120 мин и 120 мин: 5 =24 мин.

Аналогичные зависимости существуют и между другими вели­чинами, рассматриваемыми в начальных классах. Например, такими, как:

а) стоимость товара, его количество и цена;

б) объем работы, время работы и производительность труда;

в) количество ткани, количество изделий и расход на одно изделие.

Упражнения

1. Установите, какие величины рассматриваются в задаче, какая между ними существует зависимость, и решите ее различными арифметическими способами:

1) За одно и то же время теплоход «Метеор» прошел 216 км, а пароход 72 км. Чему равна скорость «Метеора», если скорость парохода 24 км/ч?

2) На 10 к. купили 2 одинаковых конверта. Сколько стоят 6 та­ких конвертов?

3) Из 20 м ткани сшили 5 платьев. Сколько можно сшить из этой ткани кофт, если расходовать на каждую из них в 2 раза меньше ткани, чем на платье?

4) 12 кг варенья разложили в 6 банок поровну. Сколько на­до таких банок, чтобы разложить 24 кг варенья?

5) Рабочему поручено изготовить за 10 ч 30 деталей. Но ра­бочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколь­ко деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени? - '.

2. Решите арифметическим и алгебраическим способами:

1) Из города А в город В вышла грузовая машина, а спус­тя 2 ч из города В в город А вышла легковая машина. Грузо­вая машина проходит в среднем по 42 км/ч, а легковая — по 65 км/ч. На каком расстоянии от города В встретятся машины, если между городами А и В 619 км?

2) Для детского сада на 16 р. 56 к. куплены яблоки по 72 к. и груши по 80 к. за килограмм. За яблоки заплачено на 2 р. 16 к. больше, чем за груши. Сколько было куплено яблок и сколько груш?

3) За книгу, ручку и линейку уплатили 1 р. 55 к. Сколько стоит каждая вещь, если известно, что ручка на 30 к. дороже линейки, а книга на 65 к. дороже ручки.

За­ключение

Математика родилась в связи с практической необходимостью систематизировать знания, которые накопились с развитием человеческого общества, о числах, формах и размерах разных предметов. Именно из непосредственных запросов практики возникли начала арифметики и элементарной геометрии.

Дальнейшее формирование новых математических понятий, теорий, методов и идей связано с прогрессом естествознания, техники, с появлением новых общественных потребностей. Современная математика насчитывает несколько десятков разных областей математического знаний, что частично отражено в данном курсе. С помощью математики можно изучать все виды движения материи. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс других наук, техники и социальной сферы.

В основе построения математических теорий лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемыми аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом.

В математике изучаются математические модели. Одна и та же модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений или объектов. Так, прямая пропорциональная зависимость описывает не только равномерное движение, но и объем выполненной работы, площадь прямоугольника, стоимость товара и др. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

• анализ значимости рассмотренных вопросов для научной теории, прак­тики;
• рассмотрение области применения полученных при изучении данной учебной дисциплины знаний;
• информация о нерешенных вопросах изучаемой отрасли знаний, суще­ствующих научных школах, гипотезах;
• характеристика перспектив развития данной науки или научного на­правления.

Список литературы

1. Байрамукова П.У. Внеклассная работа по математике в начальных классах. – М.: Издат-школа, ААЙЛ, 1997. – 87 с.
2. Большой энциклопедический словарь. – М.: «Большая российская энциклопедия», СПб.: «Норинт», 200. – 1456 с.
3. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 2188 с.
4. Депман И.Я. История математики. – М.: Учпедгиз, 1959. – 423 с.
5. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике. Учеб.пособие длдя студентов-заочников I-III курсов фак.педагогики и методики нач.обучения пед.ин-тов. – М.: Просвещение, 1985. – 183 с.
6. Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 847 с.
7. Меерзон А.Е., Добротворский А.С., Чекин А.Л. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов. – М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1988. – 448 с.
8. Пышкалов А.М., Стойлова Л.П., Ирошников Н.П., Зельцер Д.Н. Теоретические основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся школьных отделений пед.училищ (специальность № 2001). – М.: Просвещение, 1974. – 368 с.
9. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся пед.училищ по специи. № 2001 «Преподавание в нач.классах общеобразоват.шк.». - М.: Просвещение, 1988. – 320 с.
10. Стойлова Л.П.Математика: Учебник для студ.высш.пед.учеб.заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 1999. – 424 с.
11. Тонких А.П. Математика: Учебное пособие для студентов факультетов подготовки учителей начальных классов: В 2-х книгах. Кн. 1. – М.: Книжный дом «Университет», 2002. – 530 с.
12. Тонких А.П. Математика: Учебное пособие для студентов факультетов подготовки учителей начальных классов: В 2-х книгах. Кн. 2. – М.: Книжный дом «Университет», 2002. – 372 с.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: