|
|
СЛУЧАЙНЫЕ события и их вероятности1.1. Введение. Основные теоретические сведения. 1.2.Непосредственный подсчет вероятностей (классическое определение вероятности, математическая вероятность). 1.3.Теоретико-множественный подход к определению вероятности события (геометрическая вероятность, аксиоматический подход). 1.4.Частота или статистическая вероятность события.
1.1.Прежде чем рассматривать указанные подходы, определим единицу измерения вероятности события. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события – выпадание герба или решки при бросании монеты. Противоположностью достоверного события является невозможное событие – то, которое в данном опыте вообще не может произойти. Математики договорились приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному – равную нулю. Все другие события "А" – возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями Р(А), лежащими между нулем и единицей. Таким образом, в общем случае вероятность Р(А) удовлетворяет условию: 1.2. Непосредственный подсчет вероятностей Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов (событий) можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Этих условий три. 1. Необходимо, чтобы различные исходы опыта – события были бы "объективно" одинаково возможными (равновозможными). Пример – выпадение заданной грани симметричной игральной кости "объективно" равновозможно. 2. События в данном опыте должны образовывать полную группу. Это означает, что в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из событий группы. Пример событий, образующих полную группу – выпадание 1,2,3,4,5,6 очков при бросании игральной кости. 3. События в данном опыте должны быть несовместимы. Это означает, что в результате опыта никакие два события не могут появиться вместе. Пример – при бросании игральной кости выпадает лишь одна грань. События, которые удовлетворяют указанным условиям 1,2,3, называются случаями. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев (к схеме урны). Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно вычислить по соотношению:
где Пример 1.1. В полученной партия деталей оказалось 200 деталей первого сорта, 100 деталей – второго сорта и 50 деталей – третьего сорта. Наудачу вынимается одна из деталей. Чему равны вероятности получить детали первого, второго и третьего сорта? Решение. В нашем примере Легко видеть, что Р(А) = 200:350; Р(В) = 100:350; Р(С) = 50:350. Пример 1.2. Опыт состоит в одновременном (или последовательном) бросании двух монет. Найти вероятность события А = {хотя бы на одной монете выпадет герб}. Решение. С первого взгляда может показаться, что в данной задаче три случая: A1 -{два герба}; А2 = {две решки}; А3 ={герб и решка}. Однако есть сомнение, что эти события неравновозможны! Попытаемся составить для данного опыта схему случаев. Для этого назовем монеты первая и вторая, они вынимаются из урны и бросаются одновременно (или последовательно). Тогда можно назвать следующие случаи: В1 = {на первой монете герб, на второй - герб}; В2 ={на первой монете решка, на второй - решка}; В3 = {на первой монете герб, на второй - решка}; В4 = {на первой монете решка, на второй - герб). Названные события В1, В2, В3, В4 можно считать равновероятными за счет перемешивания монет в урне в симметричности самих монет относительно герба и решки. Найдем Р(А): n = 4; mA = 3; Р(А) = 3:4. Р(А1) = 1:4; Р(А2) = 1:4; Р(А3) = 2:4. Непосредственный подсчет вероятностей но формуле (1.1) может потребовать для вычисления чисел n и Рn = n! - число перестановок из n элементов;
Пример 1.3. В урне N перенумерованных шаров, k из них случайным образом по одному извлекаются и откладываются в сторону. Определить вероятность того, что номера последовательно извлекаемых шаров составят последовательность 1,2,...., k (событие А). Решение. Регламентируемый в условия случайный характер поочередного извлечения шаров позволяет допустить, что в результате рассматриваемого опыта любая последовательность k номеров из общего числа N появляется с одинаковой возможностью. Этим определено "условие равновозможности" событий, образующих полную группу и тем самым обосновано применение метода непосредственного подсчета вероятности события. Общее число равновозможных событий nравно числу различных групп по К элементов (номеров шаров) изобщего числа N, отличающихся как составом, так и порядком расположения элементов, т.е. числу размещений   Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
, (1.1)
- число случаев, благоприятных (соответствующих) событию А; 
- общее число случаев.
, обозначим соответственно через А, В, С случайные события, состоящие, соответственно, в получении деталей первого, второго и третьего сорта.
использования комбинаторных формул числа перестановок, размещений, сочетаний:
- число размещений из n элементов по 
(учитывается порядок расположения);
- число сочетаний из n элементов по 
. Число событий 
(требуемая последовательность может появиться один раз):