Одномерный статистический контроль результатов тестовых испытаний

7.1. Оперативный статистический контроль на основе формирования случайных величин с известным законом распределения. Проверка гипотезы о математическом ожидании контролируемого параметра с нормальным законом распределения и известной дисперсией по выборке малого и большого объемов. Оперативный статистический контроль на основе формирования случайных величин с известным законом распределения.

7.2 Проверка гипотезы о математическом ожидании контролируемого параметра с нормальным законо распределения и неизвестной дисперсией по выборке малого и большого объемов.

7.3 Проверка гипотезы о дисперсиях контролируемого параметра двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и неизвестными дисперсиями по двум малым выборкам малого объема

7.4 Проверка гипотезы о дисперсии контролируемого параметра большой партии изделий с нормальным законом распределения по выборке малого объема

7.1. Проверка гипотезы о математическом ожидании контролируемого параметра большой партии изделий с нормальным законом распределения и известной дисперсией по выборке малого объема (n1 =10)

Гипотеза H0:

Гипотеза H1:

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: нормальный.

, (2.1)

где известна.

Статистика – формируемая случайная величина с известным законом распределения:

Закон распределения статистики U нормальный, m_u =0; σ_u =1.

Условия принятия H0: çU ç< çUкрç.

Определение величины Uкр показано на рис.2.9.

Рис.2.9

(2.2)

Sкр обозначает величину площади.

7.2. Проверка гипотезы о математическом ожидании контролируемого параметра большой партии изделий, с нормальным законом распределения и неизвестной дисперсией по выборке малого объема (n 1 =10)

Гипотеза H0: (2.3)

Гипотеза H1:

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения – (1), где неизвестна.

Статистика:

(2.4)

(2.5)

Закон распределения статистики U – распределение Стьюдента с n=(n₁-1) степенями свободы.

Условие принятия гипотезы H0: çU ç< çUкрç.

Проверка гипотезы о дисперсиях контролируемого параметра двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и неизвестными дисперсиями по двум малым выборкам малого объема

(n₁ =10; n₂ =10)

Гипотеза H0: , оценка которых определяется по формулам (2.8), (2.9).

Гипотеза H1:

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения – нормальное распределение.

Статистика:

1. (основная статистика)

2.

Статистика 2 часто используется при табулировании.

Закон распределения статистики U:

1) F–распределение Фишера с числом степеней свободы числителя K1=(n₁-1) и знаменателя K2=(n₂-1).

2) F–распределение Фишера с числом степеней свободы числителя (большей дисперсии) Ki=n_i-1 и знаменателя Kj=n_j-1.

Условие принятия H0:

(рис.2.10.)

K1=(n₁-1) для числителя,

K2=(n₂-1) для знаменателя.

2.4.9. Проверка гипотезы о дисперсии контролируемого параметра большой партии изделий с нормальным законом распределения по выборке малого объема (n₁ =10)

Гипотеза H0: , оценка определяется по формулам (2.8).

Гипотеза H1:

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения – нормальное распределение.

Статистика:

, (2.11)

где определяется формулой (2.6).

Закон распределения статистики U – χ²-распределение (закон Пирсона) с числом степеней свободы k=n₁-1.

Условие принятия гипотезы H0:

χ₁²<χ²< χ₂² (2.12)

Графическое представление дано на рис.2.10

Литература

1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с.

2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.

3.Математические методы обработки и интерпретации результатов тестовых экспериментов. Практикум/РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, РГМУ, 2005. – 31с.

Лекция№8

Методы математической статистики

Варианты многомерного статистического контроля

8.1 Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n₁=40)

Гипотеза H0: ,

где - оценка вектора выборочного среднего;

где - вектор математического ожидания.

Гипотеза Н1:

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: многомерный нормальный закон распределения. Его плотность записывается в виде

,

где , - определитель матрицы K.

, .

Статистика:

Закон распределения статистики U - распределение с числом степеней свободы k = n.

Доверительную область можно получать в n-мерном пространстве в виде

Эта область представляет собой эллипсоид (в двумерном случае - эллипс).

Пример 2.1. По данным контрольных замеров деталей (табл.), изготовленных на десяти станках (n1=10), проверить гипотезу с уровнем значимости о соответствии средних измеряемых параметров деталей X₁, X₂, X₃ (n=3) контрольным значениям ; ; .

Ковариационная матрица считается известной

Исходная информация для сравнения параметров

Таблица 2.7

Решение. Исходя из условия задачи требуется проверить гипотезу H0:

получим неравенство , т.е. гипотеза Н0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Таким образом, средние уровни измеряемых параметров деталей не соответствуют контрольным цифрам.

8.2. Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n₁=40)

В отличие от случая 2.5.2 используется статистика Хоттелинга: , где - выборочная ковариационная матрица с элементами , где - значение параметра i в v эксперименте.

Закон распределения статистики - F – распределение с n (для числителя) и n₁-1 (для знаменателя) степенями свободы.

Доверительную область можно получить в n-мерном пространстве в виде

Это снова эллипсоид.

Пример 2.2. В условиях предыдущего примера решить задачу при неизвестной ковариационной матрице.

Решение. Требуется проверить гипотезу H0: против H1: .

Прежде всего находим оценку ковариационной матрицы:

.

Значение функции F – распределения .

Получаем соотношение , которое говорит о том, что гипотеза Н0 и в этом случае отвергается с вероятностью 0,05.

8.3.Проверка гипотезы о средних значениях n контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n₁=40; n₂=40).

Гипотеза H0: ,

Гипотеза H1: .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: многомерные нормальные законы распределения , .

Статистика: .

Закон распределения статистики U - распределение с числом степеней свободы k = n.

Доверительная область определяется условием

.

Эта область представляет собой эллипсоид.

8.4. Проверка гипотезы о средних значениях “n” контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n₁=40; n₂=40)

В отличие от случая 2.5.3 используется статистика:

,

.

Здесь , -ковариационные матрицы партий №1,№2.

Закон распределения статистики U – F-распределение с n (для числителя) и (n₁ + n₂ – n –1) (для знаменателя) степенями свободы.

Доверительную область получим из условия:

.

Как и ранее, это снова эллипсоид.

Литература

1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с.

2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.

3.Математические методы обработки и интерпретации результатов тестовых экспериментов. Практикум/РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, РГМУ, 2005. – 31с.

Лекция№9

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: