|
|
Некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величинБиномиальное распределение Формальная модель – производится n независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью P происходит случайное событие, X – число появлений события А имеет биноминальное распределение. Ряд распределения Моменты: Пример биноминального распределения дан в таблице 1.1. Таблица 1.1 Биноминальное распределение
Биноминальное распределение в общем случае асимметрично. Оно становится тем более симметричным, чем больше n или чем ближе Р к величине 0,5.
Геометрическое распределение Формальная модель – производятся ряд независимых опытов с целью наблюдать событие А (появление А называют "успехом" опыта). При каждой попытке успех достигается с вероятностью Р. Случайная величина X – число безуспешных попыток (до первой попытки, в которой появляется результат А). Ряд распределения
Моменты:
Рис. 1.1. Геометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение Формальная модель – имеется урна, в которой a белых и b черных шаров; из урны вынимается n шаров. X – число белых шаров среди вынутых. Ряд распределения
где Моменты:
Таблица 1.2 Гипергеометрическое распределение, a=5; b=95; n=5
Гипергеометрическое распределение применяется на практике при решении задач, связанных с контролем продукции. При
Распределение Пуассона Формальная модель – получается предельным переходом из биноминальной модели (3.1.1.1), если Моменты: Пример распределения Пуассона дан в табл. 1.3. Таблица 1.3 Распределение Пуассона
ЛИТЕРАТУРА 1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с. 2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.
ЛЕКЦИЯ 4 Некоторые важные распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение Закон равной плотности вероятности имеет место, когда все значения непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале ( Плотность вероятности
Функция распределения
Моменты: Показательное распределение используется для описания временных интервалов между моментами появления случайных событий в простейшем потоке, подчиняющемся закону Пуассона. Показательное распределение играет большую роль в теории случайных процессов. Плотность вероятности Функция распределения Моменты: Значения функции Таблица 1.4 Значения функции
Нормальное распределение (закон Гаусса) Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда складывается много независимых случайных величин Плотность вероятности
где Функция распределения
Для вычисления F(x) часто используется табулированная функция
которая называется функцией Лапласа. Функция Лапласа обладает свойствами, которые целесообразно учитывать при расчетах 1) Ф(0) = 0; 2) –Ф(-х) = Ф(х) (нечетная функция); 3) Ф(+¥) = 0,5 и, значит Ф(-¥) = -0,5. Моменты: Если не принимать во внимание событий, происходящих с вероятностями не более 0,0027, то можно практически ограничить диапазон возможных значений нормальной случайной величины
Таблица 1.5 Значения плотности стандартного нормального распределения
Таблица 1.6 Значения функции Лапласа
Такое распределение имеет самое важное практическое значение.
Распределение Эрланга Формальная модель – имеется стационарный пуассоновский поток с интенсивностью Плотность распределения Плотность распределения
где
Распределение Формальная модель – случайные величины Тогда случайная величина
подчинена Для
T-распределение Стьюдента Формальная модель – случайные величины Тогда случайная величина
подчинена t -распределению с числом степеней свободы При увеличении числа степеней свободы t -распределение приближается к нормированному гауссовскому распределению (раздел 3.1.2.3, практически при Распределение Стьюдента находит широкое применение при статистической оценке параметров распределения, при статистической проверке вероятностных гипотез при неизвестной дисперсии
F-распределение Фишера Формальная модель – случайные величины Величины Тогда случайная величина
подчинена F -распределению с числами степеней свободы числителя
Распределение Фишера находит применение при проверке оценок дисперсий, при статистической проверке вероятностных гипотез о качестве различных моделей случайных процессов.
Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
Задача Построить графически законы распределения (ряды, плотности вероятностей, функции распределения) случайных величин. Отметить значения, соответствующие математическому ожиданию
ЛИТЕРАТУРА 1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с. 2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.
ЛЕКЦИЯ 5   Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, где 
; 
.
; 
.
.
; 
; 
.
Пример геометрического распределения показан на рис. 1.1 (для случая Р=0,5).
,
; 
.
;
.
и 
гипергеометрическое распределение приближается к биноминальному с параметрами: n – величина выборки, 
.
, 
, 
. На практике распространено задание 
, где 
– интенсивность потока (число событий за единицу времени), 
– длина интервала. X – число событий на участке длиной 
, где 
.
; 
.
) равновозможны.
; 
; 
. Показательное (экспоненциальное) распределение
.
.
; 
; 
.
приведены в табл. 1.4.
.
, причем эти величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы.
; 
; 
; 
.
; 
.
.
может быть выражена через функцию распределения Пуассона (раздел 3.1.1.4).
,
; 
(распределение хи-квадрат, закон Пирсона)
подчинены нормированному нормальному распределению, причем 
переменных независимы, остальные 
линейно связаны с этими переменными.
– распределению с числом степеней свободы 
подчинены нормальному распределению с нулевым средним и произвольной дисперсией 
. Величина 
не зависит от остальных 
, а среди 
имеется 
подчинены нормальному закону распределения с нулевым средним и произвольной дисперсией 
. Кроме того, пусть среди 
линейно независимых величин.
, моде 
, медиане 
и отклонениям от математического ожидания 