Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величин





Биномиальное распределение

Формальная модель – производится n независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью P происходит случайное событие, X – число появлений события А имеет биноминальное распределение.

Ряд распределения , где ; .

Моменты: ; .

Пример биноминального распределения дан в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Биноминальное распределение

n   0,01 0,1 0,5
0,95099 0,04803 0,00097 0,00001 0,00000 0,00000 0,59049 0,32805 0,07290 0,00810 0,00045 0,00001 0,03125 0,15625 0,31250 0,31250 0,15625 0,03125
0,73970 0,22415 0,03283 0,00310 0,00021 0,00001 0,00000 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0,04239 0,14130 0,22766 0,23609 0,17707 0,10230 0,04736 0,01804 0,00576 0,00157 0,00037 0,00007 0,00001 0,00000 - - - - - - - - - - - - - - - - - 0,00000 0,00003 0,00013 0,00055 0,00190 0,00545 0,01332 0,02798 0,05088 0,08055 0,11154 0,13544 0,144446 0,13544 0,11154 0,08055 0,05088 0,02798 0,01332 0,00545 0,00190 0,00055 0,00013 0,00003 0,00000

 

Биноминальное распределение в общем случае асимметрично. Оно становится тем более симметричным, чем больше n или чем ближе Р к величине 0,5.

 

Геометрическое распределение

Формальная модель – производятся ряд независимых опытов с целью наблюдать событие А (появление А называют "успехом" опыта). При каждой попытке успех достигается с вероятностью Р.

Случайная величина X – число безуспешных попыток (до первой попытки, в которой появляется результат А).

Ряд распределения

.

Моменты: ; ; .

Пример геометрического распределения показан на рис. 1.1 (для случая Р=0,5).

 

 

Рис. 1.1. Геометрическое распределение

 

Гипергеометрическое распределение

Формальная модель – имеется урна, в которой a белых и b черных шаров; из урны вынимается n шаров. X – число белых шаров среди вынутых.



Ряд распределения

,

где ; .

Моменты:

;

.

 

Таблица 1.2

Гипергеометрическое распределение, a=5; b=95; n=5

m
Pm 0,7696 0,2114 0,0184 0,0006

 

Гипергеометрическое распределение применяется на практике при решении задач, связанных с контролем продукции. При и гипергеометрическое распределение приближается к биноми­нальному с параметрами: n – величина выборки, .

 

Распределение Пуассона

Формальная модель – получается предельным переходом из бино­минальной модели (3.1.1.1), если , , . На практике распространено задание , где – интенсив­ность потока (число событий за единицу времени), – длина интер­вала. X – число событий на участке длиной . Ряд распределения , где ; .

Моменты: ; .

Пример распределения Пуассона дан в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Распределение Пуассона .

  a=0,1 a=0,9 a=7,0
0,9048 0,0905 0,0045 0,0002 0,0000 - - - - - - - - - - - - - - - - 0,4066 0,3659 0,1647 0,0494 0,0111 0,0020 0,0003 0,0000 - - - - - - - - - - - - - 0,0009 0,0064 0,0223 0,0521 0,0912 0,1277 0,1490 0,1490 0,1304 0,1014 0,0710 0,0452 0,0263 0,0142 0,0071 0,0033 0,0014 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000

 

ЛИТЕРАТУРА

1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с.

2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.

 

ЛЕКЦИЯ 4

Некоторые важные распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Закон равной плотности вероятности имеет место, когда все значения непрерывной случайной величины в некотором конечном ин­тервале ( ) равновозможны.

Плотность вероятности

Функция распределения

Моменты: ; ; . Показательное (экспоненциальное) распределение

Показательное распределение используется для описания временных интервалов между моментами появления случайных событий в простейшем потоке, подчиняющемся закону Пуассона . Показа­тельное распределение играет большую роль в теории случайных про­цессов.

Плотность вероятности .

Функция распределения .

Моменты: ; ; .

Значения функции приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Значения функции .

0,01 0,02 0,05 0,09 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 1,000 0,990 0,980 0,951 0,914 0,861 0,0819 0,741 0,67 0,606 0,549 0,497 0,449 0,368 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 6,6 6,7 6,8 7,0 0,135 0,082 0,05 0,030 0,0183 0,0111 0,0067 0,0041 0,0025 0,0015 0,0014 0,0012 0,0011 0,0009

Нормальное распределение (закон Гаусса)

Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда складывается много независимых случайных величин , причем эти величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеи­вание суммы.

Плотность вероятности

где ; .

Функция распределения

Для вычисления F(x) часто используется табулированная функция

которая называется функцией Лапласа. Функция Лапласа обладает свойствами, которые целесообразно учитывать при расчетах 1) Ф(0) = 0; 2) –Ф(-х) = Ф(х) (нечетная функция); 3) Ф(+¥) = 0,5 и, значит Ф(-¥) = -0,5.

Моменты: ; ; .

Если не принимать во внимание событий, происходящих с веро­ятностями не более 0,0027, то можно практически ограничить диа­пазон возможных значений нормальной случайной величины ; . (правило «трех сигма»). Значения функции приведены в табл. 1.5, 1.6.

 

Таблица 1.5

Значения плотности стандартного нормального распределения .

 

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,3989 0,3970 0,3910 0,3810 0,3683 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,1295 0,1109 0,0941 0,0790 0,0656 0,0540 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001

 

Таблица 1.6

Значения функции Лапласа .

 

 

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,5   0,00000 0,03983 0,07926 0,11791 0,15542 0,19146 0,22575 0,25804 0,28814 0,31594 0,34134 0,38493 0,43319 2,0 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 4,6 4,8 5,0 0,47725 0,49379 0,49534 0,49653 0,49744 0,49813 0,49865 0,49977 0,499968 0,499997 0,49999978 0,49999992 0,49999997

 

Такое распределение имеет самое важное практическое значение.

 

Распределение Эрланга

Формальная модель – имеется стационарный пуассоновский по­ток с интенсивностью . Интервал Т, состоящий из суммы К интервалов между событиями, подчиняется закону Эр­ланга К-го порядка.

Плотность распределения

Плотность распределения может быть выражена через функ­цию распределения Пуассона (раздел 3.1.1.4).

,

где ;

 

Распределение (распределение хи-квадрат, закон Пирсона)

Формальная модель – случайные величины подчинены нормированному нормальному распределению, причем переменных независимы, остальные линейно связаны с этими переменными.

Тогда случайная величина

подчинена – распределению с числом степеней свободы .

Для -распределение достаточно хорошо представляется нормальным законом. Распределение широко используется при статистических расчетах для оценки точности определения дисперсии, для оценки точности согласия различных законов распределения.

 

T-распределение Стьюдента

Формальная модель – случайные величины подчинены нормальному распределению с нулевым средним и произвольной дисперсией . Величина не зависит от остальных , а среди имеется линейно независимых величин.

Тогда случайная величина

подчинена t-распределению с числом степеней свободы .

При увеличении числа степеней свободы t-распределение приближается к нормированному гауссовскому распределению (раздел 3.1.2.3, практически при ).

Распределение Стьюдента находит широкое применение при статистической оценке параметров распределения, при статистической проверке вероятностных гипотез при неизвестной дисперсии .

 

F-распределение Фишера

Формальная модель – случайные величины и подчинены нормальному закону распределения с нулевым средним и произвольной дисперсией .

Величины не зависят от . Кроме того, пусть среди имеется , а среди линейно независимых величин.

Тогда случайная величина

подчинена F-распределению с числами степеней свободы числителя и знаменателя .

 

Распределение Фишера находит применение при проверке оценок дисперсий, при статистической проверке вероятностных гипотез о качестве различных моделей случайных процессов.

 

Задачи для практических занятий и самостоятельной работы

 

Задача Построить графически законы распределения (ряды, плотности вероятностей, функции распределения) случайных величин. Отметить значения, соответствующие математическому ожиданию , моде , медиане и отклонениям от математического ожидания

 

ЛИТЕРАТУРА

1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с.

2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.

 

ЛЕКЦИЯ 5









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.