Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Представление многомерных данных с помощью многомерных матриц.Операции над многомерными матрицами.





Наряду с понятием множества как совокупности неупорядоченных элементов важным понятием является понятие упорядоченного множества элементов. Многомерной матрицей (ММ) называется упорядоченная совокупность многоиндексных элементов ai1i2…iW, где ia = 1,2,…na; . Целые положительные числа W, NA = n1n2…nW, na называются соответственно размерностью матрицы А, размером матрицы А, размером индекса ia. Размерность W показывает число индексов в обозначении элементов ai1i2…iW матрицы. Размер NA матрицы А указывает общее число элементов матрицы. Размер индекса na показывает, сколько значений (от 1 до na) пробегает соответствующий индекс.

Структура многомерных матриц определяется структурой их индексов. Структура индекса может быть столбцовой или строчной. Индексы, имеющие, например, строчную структуру (строчные индексы), показывают положение элементов внутри какого-либо столбца. При индексном представлении элементов матрицы целесообразно ставить знак «+» или «–» соответственно над столбцовым или строчным индексом. Например, di+j- - элементы обычной двухмерной (плоской) матрицы. Общее представление многомерной матрицы А имеет вид А = А(p,q), где р – число столбцовых индексов, q – число строчных индексов. Для получения индексного представления многомерной матрицы вводится помечивание индексов. Пометка начинается с последнего индекса, который при q>0 принимается за строчный. Далее столбцовые и строчные индексы чередуются до тех пор, пока один из видов индексов не исчерпывается. При p³q все оставшиеся индексы принимаются за столбцовые, при p<q – за строчные. Числа p и q в сумме дают размерность W матрицы А: p+q = W. Если матрица А является функциональной, например зависит от времени t, от пространственных координат x, y и т.д., то структурные числа p и q следует отделять от аргументов точкой с запятой, например A = A(p,q;t,x,y). Для наглядного представления многомерной матрицы используют табличное представление. Табличное представление многомерной матрицы – это блочно-иерархическая таблица, отображающая на плоскости структуру матрицы и численные значения элементов. Иерархия согласована с иерархией индексов таким образом, что крайним левым индексам соответствуют наиболее крупные блоки. При этом столбцовые индексы изменяются в столбцах, а строчные – в строках. Примеры представления многомерных матриц приведены в таблице 1.1.



Таблица 1.1

Общее представление Индексное представление Табличное представление
  А(0,1)   { -} i =  
i=1 i=2
a1 a2

 

  А(1,2)   { }= i, j, k =

 

  i=1 i=1 i=2 i=2
  k=1 k=2 k=1 k=2
j=1 a111 a112 a211 a212
j=2 a121 a122 a221 a222

 

 

    j = 1 j = 2
B(1,1) = { } = i = 1
i, j = i = 2

 

 


Основные операции над многомерными матрицами

Умножение ММ на скаляр

При этом каждый элемент матрицы умножается на скаляр. Это можно представить в виде

A(p,q)*α = {α*{ }}.

 

Сложение ММ

Суммировать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковые размерности, структуру и размеры. При этом суммирование осуществляется поэлементно: если

C(p,q) = A(p,q)+B(p,q), то { } = { } + { }.

 

Транспонирование ММ

Операция обозначается верхним индексом «Т» и заключается в замене структуры индексов на противоположную и в последующем упорядочении индексов в соответствии с правилами помечивания. Например, если

A = A(1,2) = { }, то B = AT = B(2,1) = { },

так что = .

 

Свернутое произведение ММ

Оно образуется по следующим правилам:

1. Свертка индексов производится тогда и только тогда, когда первый сомножитель содержит строчные индексы, а второй – столбцовые, и размеры соответствующих индексов (столбцового и строчного) совпадают.

2. Свертка строчных индексов первого сомножителя по столбцовым индексам второго сомножителя производится в соответствии с их естественным порядком: первый строчный индекс первого сомножителя свертывается с первым столбцовым индексом второго сомножителя, второй – со вторым и т.д.

3. Свертка двух индексов заключается в том, что элемент результата образуется путем суммирования произведений элементов сомножителей по свернутому индексу. При этом два свернутых индекса обозначаются одинаково и теряют свою структуру.

 

Обращение ММ

Многомерная матрица В = А-1 называется обратной по отношению к матрице А = (р,р), если выполняются следующие соотношения:

А(р,р)×В = В×А(р,р) = Е(р,р). (1.1)

Обратная многомерная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель исходной гиперквадратной матрицы отличен от нуля. Численное обращение квадратной матрицы может осуществляться путем плоского обращения ее двумерного табличного представления.

Таким образом, общее правило получения обратной матрицы можно записать следующим образом.

1. Обратная матрица строится на основе обращения ее табличного представления.

2. Индексы обратной матрицы располагаются так же, как при транспонировании матрицы. Построенная таким образом матрица определяет структуру обратной матрицы, а значения элементов устанавливаются по табличному представлению обратной матрицы.

Многомерные обратные матрицы могут использоваться для представления решения линейных многомерно-матричных уравнений типа А(р,р)×Х(р,0) = В(р,0), которое дается соотношением

Х(р,0) = А-1(р,р)×В(р,0).

Литература

1.Компьютерные технологии адаптивной обработки данных,часть1:Лабораторный практикум / РГМУ: сост. Булаев М.П., Дорошина Н.В., Кабанов А.Н. Рязань, 2002, 27 с.

2.Элементы теории вероятностей: Практикум, Б131 /Авт.-сост. М.П.Булаев, Е.В. Прохорова; под ред. М.П. Булаева; Ряз. гос. мед. ун-т им. акад И.П.Павлова. - Рязань: РИО РГМУ, 2006. – 93 с.

 

 

Лекция№6









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.