КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ г-ПИРСОНА

г-Пирсона (Реагзоп г) применяется для изучения взаимосвязи двух метричес­ких переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успе­ваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной пла­ты работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение
школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересую­щих его показателя у каждого члена выборки. Данные для изучения взаимо­связи затем сводятся в таблицу, как в приведенном ниже примере.

ПРИМЕР 6.1______________________________________________________________________

Прежде чем дать формулу коэффициента корреляции, попробуем просле­дить логику ее возникновения, используя данные примера 6.1. Положение каждой /-точки (испытуемого с номером /) на диаграмме рассеивания отно­сительно остальных точек (рис. 6.3) может быть задано величинами и знака­ми отклонений соответствующих значений переменных от своих средних ве­личин: (х,— М_х) и (у^Му). Если знаки этих отклонений совпадают, то это свидетельствует в пользу положительной взаимосвязи (большим значениям

по х соответствуют большие значения по у или меньшим значениям по х со­ответствуют меньшие значения по у).

ПРИМЕР_________________________________________________________________________

Для испытуемого № 1 отклонение от среднего по х и по у положительное, а для испытуемого № 3 и то и другое отклонения отрицательные. Следовательно, данные того и другого свидетельствуют о положительной взаимосвязи изучаемых призна­ков. Напротив, если знаки отклонений от средних по х и по у различаются, то это будет свидетельствовать об отрицательной взаимосвязи между признаками. Так, для испытуемого № 4 отклонение от среднего по х является отрицательным, по у — положительным, а для испытуемого № 9 — наоборот.

Таким образом, если произведение отклонений (х,— М_х) х (у, — М_у) поло­жительное, то данные /-испытуемого свидетельствуют о прямой (положи­тельной) взаимосвязи, а если отрицательное — то об обратной (отрицатель­ной) взаимосвязи. Соответственно, если х и у ъ основном связаны прямо пропорционально, то большинство произведений отклонений будет поло­жительным, а если они связаны обратным соотношением, то большинство произведений будет отрицательным. Следовательно, общим показателем для силы и направления взаимосвязи может служить сумма всех произведений отклонений для данной выборки:

При прямо пропорциональной связи между переменными эта величина является большой и положительной — для большинства испытуемых откло­нения совпадают по знаку (большим значениям одной переменной соответ­ствуют большие значения другой переменной и наоборот). Если же х и у име­ют обратную связь, то для большинства испытуемых большим значениям одной переменной будут соответствовать меньшие значения другой перемен­ной, т. е. знаки произведений будут отрицательными, а сумма произведений в целом будет тоже большой по абсолютной величине, но отрицательной по знаку. Если систематической связи между переменными не будет наблюдать­ся, то положительные слагаемые (произведения отклонений) уравновесятся отрицательными слагаемыми, и сумма всех произведений отклонений будет близка к нулю.

Чтобы сумма произведений не зависела от объема выборки, достаточно ее усреднить. Но мера взаимосвязи нас интересует не как генеральный параметр, а как вычисляемая его оценка — статистика. Поэтому, как и для формулы дис­персии, в этом случае поступим так же, делим сумму произведений отклоне­ний не на Ы, а на Ы— 1. Получается мера связи, широко применяемая в физи­ке и технических науках, которая называется ковариацией (Соуапапсе)'.

^(х,-М_х)(у^М_у)

СОУ„ = —-----------------------------.

* (N-1)

В психологии, в отличие от физики, большинство переменных измеряют­ся в произвольных шкалах, так как психологов интересует не абсолютное зна­чение признака, а взаимное расположение испытуемых в группе. К тому же ковариация весьма чувствительна к масштабу шкалы (дисперсии), в которой измерены признаки. Чтобы сделать меру связи независимой от единиц изме­рения того и другого признака, достаточно разделить ковариацию на соот­ветствующие стандартные отклонения. Таким образом и была получена фор­мула коэффициента корреляции К. Пирсона:

I (х гККу, ~ ^м у)

(6.1)

^г*у =

(М-1)а_ха_у

или, после подстановки выражении для а_х и с_у:

;=1__________________

р^(х₍-М_х)²хЪ{у₍-М_у)²

Уравнение (6.1) является основной формулой коэффициента корреляции Пирсона. Эта формула вполне осмысленна, но не очень удобна для вычисле­ний «вручную» или на калькуляторе. Поэтому существуют производные фор­
мулы — более громоздкие по виду, менее доступные осмыслению, но упро­щающие расчеты. Мы не будем их здесь приводить, так как один раз в жизни можно в учебных целях посчитать корреляцию Пирсона и по исходной фор­муле «вручную», а в дальнейшем для обработки реальных данных все равно придется воспользоваться компьютерными программами.

ПРИМЕР 6.2______________________________________________________________________

Для расчета коэффициента корреляции воспользуемся данными примера 6.1 о вер­бальном и невербальном 10, измеренном у 20 учащихся 8-го класса. К двум столб­цам с исходными данными добавляются еще 5 столбцов для дополнительных рас­четов, и внизу — строка сумм.

На первом шаге подсчитываются суммы всех значений одного, затем — другого признака для вычисления соответствующих средних значений А/< и М_у\ М_х = 9,8; М_у = 10,4.

Далее для каждого испытуемого вычисляются отклонения от среднего: для Хи для У. Каждое отклонение от среднего возводится в квадрат. В последнем столбике за­писывается результат перемножения двух отклонений от среднего для каждого ис­пытуемого.

Суммы отклонений от среднего для каждой переменной должны быть равны нулю (с точностью до погрешности вычислений). Сумма квадратов отклонений необхо­дима для вычисления стандартных отклонений по известной формуле (4.7):

[512 [42^ о =.--------------- =1,735; о =, =1,501.

* V 19 ^у \ 19

Сумма произведений отклонений дает нам значение числителя, а произведение стандартных отклонений и (А^— 1) — значение знаменателя формулы коэффици­ента корреляции:

г =--------- ^---------- = 0,517.

1,735-1,501-19

Если значения той и другой переменной были преобразованы в г-значения по формуле:

х, ~М_Х у,-М

2 =:—:------- 7 =----------------- —

® х Ъу

то формула коэффициента корреляции /--Пирсона выглядит проще:

N

Е ^х, N-1 '

Отметим еще раз: на величину коэффициента корреляции не влияет то, в каких единицах измерения представлены признаки. Следовательно, любые линейные преобразования признаков (умножение на константу, прибавление кон­станты: у₁ = хр + а) не меняют значения коэффициента корреляции. Исключе­нием является умножение одного из признаков на отрицательную константу: коэффициент корреляции меняет свой знак на противоположный.

На рис. 6.2 приведены примеры диаграмм рассеивания для различных зна­чений коэффициента корреляции. Обратите внимание: на последнем рисун­ке визуально наблюдается нелинейная взаимосвязь между переменными, од­нако коэффициент корреляции равен нулю. Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона есть мера прямолинейной взаимосвязи; он не чувствителен к криволинейным связям.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: