ИДЕЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ

Рассмотрим идею проверки статистической гипотезы на примере. Пред­положим, психолог решил проверить пригодность разработанных ранее норм для имеющегося в его распоряжении теста интеллекта. Прежний норматив­ный показатель А = 10. На новой выборке численностью N = 100 человек он получил следующие результаты: М— 10,6; а = 3.

Различия действительно обнаружены. Но интуитивно понятно, что такой результат может быть получен случайно, даже если в действительности (в ге­неральной совокупности) различий нет, как и наоборот, когда различия на самом деле существуют. Поэтому точный ответ в отношении генеральной со­вокупности по результатам выборочного исследования получить невозмож­но. Но методы статистики, как уже отмечалось, позволяют оценить вероят­ность случайного получения такого различия при условии, что различий на самом деле в генеральной совокупности нет (верна Н₀).

В нашем примере Н₀: М_Х=А, то есть проверяется гипотеза, что среднее ге­неральной совокупности М, из которой извлечена выборка, равно А = 10. Предположим, что выборка одного и того же объема N извлекается из такой совокупности многократно. И каждый раз вычисляется выборочное среднее значение М_х. После многократного проведения таких опытов можно постро­ить распределение выборочных средних значений. Понятно, что выборочные средние чаще будут близки к А = 10, но иногда более или менее существенно отличаться от 10. Оказывается, что форма выборочного распределения для данного случая, как и для многих других, известна заранее (поэтому они на­зываются теоретическими распределениями). Одна из основных теорем стати­стики — центральная предельная теорема — гласит, что распределение сред­них значений выборок, извлекаемых из одной и той же совокупности при достаточно большом /^соответствует нормальному распределению. Среднее значение всех выборочных средних будет равно среднему значению совокуп­ности (в данном случае — А = 10), а дисперсия выборочных средних составит величину т² = о²/И, где о_х² — дисперсия совокупности, N — объем каждой выборки (т еще называют ошибкой среднего).

Таким образом, заранее известно распределение средних для случая, когда верна Н₀. Это распределение позволяет определить, насколько вероятно то или иное случайное отклонение выборочного среднего от А — среднего в ге­неральной совокупности. Например, из свойств нормального распределения мы знаем, что примерно 68% площади под кривой нормального распределе­ния находится в диапазоне ± о от среднего значения. Следовательно, 68% всех выборочных средних будет находиться в диапазоне А ±т. Вероятность того, что выборочное среднее случайно попадет в этот диапазон составляет 0,68, а вероятность того, что оно будет отличаться от А больше чем на 1 т составляет 1 — 0,68 = 0,32. Аналогичным образом мы можем определить, насколько веро­ятно получение данного конкретного (или большего) отклонения выбороч­ного среднего от А при условии истинности Н₀.

Для нашего примера необходимо сначала определить, насколько выбороч­ное среднее отличается от А в единицах стандартного отклонения, то есть оп­ределить соответствующее ^-значение:

4Й

Формулы, подобные 7.1, позволяют получить так называемое эмпиричес­кое значение критерия для соответствующего теоретического распределения (в данном случае формула 7.1 позволяет вычислить эмпирическое значение I-критерия — для нормального распределения). Подставляя выборочные зна­чения, получаем г = 2. По таблице параметров нормального распределения можно определить, что в диапазоне ±2 находится 0,954 всей площади под кри­вой. В соответствии с интерпретацией единичной нормальной кривой, этой площади соответствует вероятность того, что случайное отклонение от 0 бу­дет меньше г — ±2. А для нашего случая найденная площадь соответствует ве­роятности того, что случайное отклонение выборочного среднего значения будет меньше ±{М_Х — Л) = ±0,6. Соответственно, вероятность случайного от­клонения выборочного среднего от генерального среднего на 0,6 и больше определяется площадью в «хвостах» под кривой нормального распределения — за пределами найденного диапазона (рис. 7.1). Следовательно, вероятность того, что данная выборка принадлежит генеральной совокупности со сред­ним А (то есть, что верна Н₀), составляет/7= 1 — 0,954 = 0,046. Это и есть веро­ятность того, что данный выборочный результат мог быть получен случайно, когда на самом деле в генеральной совокупности верна Н₀ или то, что называется р-уровнем значимости.

Следует отметить, что выборочное распределение средних значений соот­ветствует нормальному виду, если 100. Для выборок меньшего объема рас­пределение средних начинает зависеть от объема выборок (точнее — от числа степеней свободы, с1/) и соответствует другому теоретическому распределе-

Рис. 7.1. Выборочное распределение средних значений для верной Н0

нию — /-Стьюдента. Тем не менее, общая последовательность проверки ста­тистической гипотезы остается той же, как, впрочем, и для любого другого случая. Сначала вычисляется соответствующее эмпирическое значение:

I М - АI

'•-ЦЖ- ^<7'²⁾

Затем вычисленное эмпирическое значение сопоставляется с теоретичес­ким /-распределением для соответствующего числа степеней свободы с1/. Это позволяет определить ^-уровень — вероятность того, что выборка принадле­жит генеральной совокупности, для которой верна нулевая гипотеза Н₀: М=А.

Таким образом, в основе статистической проверки гипотез лежит представ­ление о теоретическом распределении выборочной статистики — для условия, когда в генеральной совокупности верна нулевая статистическая гипотеза. В исследовании Арбутнота в качестве теоретического выступало биномиаль­ное распределение для Н₀: Р = '/₂, ^{а в} нашем примере — распределение выбо­рочных средних для известной нулевой гипотезы (2-распределение для боль­ших Л^и /-распределение для малых /V). В процессе проверки статистической гипотезы определяется /7-уровень значимости (вероятность того, что нулевая статистическая гипотеза верна) путем соотнесения эмпирических значений выборочных статистик (например, разности средних) с теоретическим рас­пределением, соответствующим нулевой статистической гипотезе.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: