Главная | Контакты | FAQ

Та б л и ц а 16.2

Применив факторный анализ, исследователь выделил два фактора. Основной ре­зультат, который подлежит интерпретации исследователем, — таблица факторных нагрузок после варимакс-вращения (табл. 16.2). Не рассматривая пока шаги, при­водящие к этому результату, попытаемся проинтерпретировать полученные данные. В нашем примере по фактору 1 (У^) максимальные нагрузки имеют переменные 1 и 2. Следовательно, фактор 1 и определяется этими переменными. Поскольку перемен­ная 1 — счет в уме, а переменная 2 — продолжение числового ряда, то фактору 1 мо­жет быть присвоено название «арифметические способности», как показателю лег­кости оперирования числовым материалом. Точно так же фактору 2 можно присвоить название «вербальные способности», как показателю словесного понимания. Нетруд­но заметить, что переменные, определяющие фактор, сильнее связаны друг с другом, чем с другими переменными (табл. 16.1). Так, переменные 1 и 2, определяющие фак­тор 1, сильнее связаны друг с другом, чем с переменными 3, 4 и 5. Таким образом, за взаимосвязью пяти исход­ных измерений способностей при помо­щи факторного анализа обнаруживает­ся действие двух латентных переменных (факторов).

Интерпретация фактора через исход­ные переменные

Интерпретация факторов — одна из основных задач факторного анализа. Ее решение заключается в идентификации факторов через исходные пере­менные. Эта идентификация и осуществляется по результатам обработки, представленным в табл. 16.2.

Основное содержание табл. 16.2 — величины о_п... о₂₅ — факторные нагруз­ки переменных 1... 5 (строки) по факторам 1 и 2 (столбцы). Факторные на­грузки — аналоги коэффициентов корреляции, показывают степень взаимо­связи соответствующих переменных и факторов: чем больше абсолютная величина факторной нагрузки, тем сильнее связь переменной с фактором, тем больше данная переменная обусловлена действием соответствующего фактора. Каждый фактор идентифицируется по тем переменным, с которы­ми он в наибольшей степени связан, то есть по переменным, имеющим по
этому фактору наибольшие нагрузки. Идентификация фактора заключается, как правило, в присвоении ему имени, обобщающего по смыслу наименова­ния входящих в него переменных.

Если исследователя интересует только структура измеренных признаков, на этом факторный анализ завершается. Продолжая факторный анализ, ис­следователь далее может вычислить значения факторов для испытуемых, на­пример, с целью их дифференциации по преобладанию арифметических или вербальных способностей.

Выбирая факторный анализ как средство изучения корреляций, исследо­ватель должен отдавать себе отчет в том, что это один из самых сложных и трудоемких методов. Зачастую нет веских оснований предполагать наличие факторов как скрытых причин изучаемых корреляции, и задача заключается лишь в обнаружении группировок тесно связанных переменных. Тогда целе­сообразнее вместо факторного анализа использовать кластерный анализ кор­реляций (см. главу 19). Помимо простоты, кластерный анализ обладает еще одним преимуществом: его применение не связано с потерей исходной ин­формации о связях между переменными, что неизбежно при факторном ана­лизе. И уже после выделения групп тесно связанных переменных можно по­пытаться применить факторный анализ для их объяснения.

Итак, можно сформулировать основные задачи факторного анализа:

1. Исследование структуры взаимосвязей переменных. В этом случае каж­дая группировка переменных будет определяться фактором, по которому эти переменные имеют максимальные нагрузки.

2. Идентификация факторов как скрытых (латентных) переменных — при­чин взаимосвязи исходных переменных.

3. Вычисление значений факторов для испытуемых как новых, интеграль­ных переменных. При этом число факторов существенно меньше числа исходных переменных. В этом смысле факторный анализ решает задачу со­кращения количества признаков с минимальными потерями исходной ин­формации.

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИДЕИ И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДА

Анализ главных компонент и факторный анализ

Модель главных компонент лежит в основе большинства методов фактор­ного анализа и часто рассматривается как один из его самостоятельных вари­антов. Анализ главных компонент преобразует набор коррелирующих исход­ных переменных в другой набор — некоррелирующих переменных. Проще всего понять суть этого метода, привлекая геометрические представления.

Предположим, у нас имеются две положительно коррелирующие перемен­ные Хи У, измеренные на группе объектов. Тогда график двумерного распре­деления (рассеивания) этих объектов в осях измеренных признаков (коорди­наты объектов заданы значениями признаков) будет представлять собой эллипс, так как большим значениям переменной X будут соответствовать боль­шие значения переменной У и наоборот (рис. 16.1). Главная ось эллипса М_х — это прямая, вдоль которой будет наблюдаться наибольший разброс данных. Вдоль второй оси эллипса М₂, перпендикулярной первой и проходящей че­рез ее середину, будет наблюдаться наименьший разброс данных.

Если перед нами стоит задача представления объектов (точек) в терминах только одной размерности (переменной), то главная ось эллипса является наиболее подходящей, так как вдоль нее объекты отличаются друг от друга лучше (дисперсия больше), чем вдоль любой другой прямой, в том числе и вдоль отдельно оси X или У. Анализ главных компонент в отношении этих двух признаков и состоит в переходе от них к главной компоненте, соответ­ствующей главной оси эллипса, и в представлении объектов в значениях про­екций объектов на эту ось (главную компоненту). Иначе говоря, происходит переход от координат каждого объекта по двум осям (X, У) к их координатам только по одной оси М_х — главной компоненте (рис. 16.1). Отметим, что в случае отсутствия взаимосвязи двух признаков главной компоненты просто не существует, так как обе оси (компоненты) являются равнозначными.

Рис. 16.1. Компоненты Мх и М2 двумерного распределения признаков Хи У

Анализ главных компонент можно представить как преобразование ин­формации, содержащейся в исходных данных. Так, определяя главную ком­поненту как направление, в котором наблюдается наибольший разброс объек­тов, представляя объекты в единицах измерения по этой оси, мы теряем минимум информации об отличии объектов друг от друга. Чем сильнее взаи­мосвязь двух переменных, тем меньше исходной информации теряется при переходе от двух переменных к одной главной компоненте. Если две пере­менные не коррелируют, то компоненты (оси) являются равнозначными по информативности, и невозможно определить одну из них как «главную».

При наличии более двух коррелирующих переменных принцип определе­ния главных компонент тот же. В осях трех и более переменных график раз­броса объектов будет представлять собой эллипсоид (овальное тело) в про­странстве трех и более измерений. Первая ось этого эллипсоида пройдет по его наибольшему диаметру, вторая — по наибольшему диаметру в плоскости, рассекающей эллипсоид посередине и перпендикулярно первой оси, и так далее. Количество осей этого эллипсоида будет равно количеству перемен­ных, и в направлении каждой последующей оси будет все меньший и мень­ший разброс наблюдений. При этом количество компонент, которые иссле­дователь выбирает как «главные», определяется произвольно. Таким образом, анализ главных компонент решает задачу сокращения количества перемен­ных при условии сохранения максимальной доли дисперсии наблюдений.

Анализ главных компонент является исходной процедурой многих мето­дов факторного анализа и может рассматриваться как их упрощенный аналог. Поэтому более подробно рассмотрим на его примере наиболее важные поня­тия факторного анализа.

В основе анализа главных компонент лежит математический метод нахож­дения собственных значений и собственных векторов корреляционной мат­рицы. Не останавливаясь на определениях и процедурах этого метода, отме­тим то, что действительно имеет существенное значение для дальнейшего понимания основ факторного анализа. В процессе компонентного анализа решается уравнение (в матричной форме):

К = АА\ (16.1)

где К — исходная матрица корреляций; А — матрица, каждый элемент кото­рой а_ш — компонентная нагрузка переменной \ (строка) по компоненте к (стол­бец); А' — транспонированная матрица А. Уравнение 16.1 Л. Терстоун назвал «фундаментальной факторной теоремой» (Г. Харман, 1972). Результатом ре­шения этого уравнения является матрица компонентных нагрузок А.

Рассмотрим важные особенности матрицы компонентных нагрузок на примере компонентного анализа корреляционной матрицы, представленной втабл. 16.1. Решение уравнения 16.1 позволяет получить матрицу компонент­ных нагрузок (табл. 16.3).

Таблица 16.3

Собственные значения выделяются в порядке их убывания в соответствии с осями эллипсоида разброса наблюдений. Количество выделяемых компонент (и собственных значений) равно числу переменных. Сумма всех собственных значений равна количеству переменных. Отметим, что если бы все корреля­ции между исходными переменными были бы равны нулю, то каждое соб­ственное значение равнялось бы 1. Чем выше корреляции между переменны­ми, тем больше предыдущие собственные значения и меньше — последующие. Собственное значение, деленное на количество переменных, есть доля дис­персии, соответствующая данной компоненте. Все компоненты исчерпывают 100% совокупной дисперсии переменных.

Каждый элемент а_1к матрицы А — это компонентная нагрузка переменной / (строка) по компоненте к (столбец). Компонентная (как и факторная) нагруз­ка — аналог коэффициента корреляции, мера связи переменной / и компо­ненты к. Соответственно, квадрат компонентной нагрузки (как и корреля­ции) приобретает смысл части дисперсии, в данном случае — части дисперсии переменной, объясняемой соответствующей компонентой. Сумма квадратов всех компонентных нагрузок по строке равна 1, полной дисперсии перемен­ной (в ^-значениях).

Таким образом, полная единичная дисперсия каждой переменной разло­жена по компонентам. Сумма квадратов всех компонентных нагрузок по стол­бцу равна собственному значению данной компоненты:

р

^Я/ = Е°/У' (16.2)

м

где / — номер компоненты, ] — номера переменных (количеством Р).

Как было указано, это собственное значение, деленное на количество пе­ременных, есть доля дисперсии, соответствующая данной компоненте, и ис­пользуется как показатель информативности компоненты.

Уравнение 16.1 позволяет восстановить коэффициенты корреляции по матрице компонентных нагрузок А, так как произведение этой матрицы на саму себя транспонированную дает корреляционную матрицу. В соответствии с правилом умножения матриц, каждый коэффициент корреляции г^ может быть восстановлен через компонентные нагрузки, как сумма всех (по строке) произведений нагрузок для этих двух переменных по каждой компоненте. Восстановленный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

м

^ = (16.3)

к=\

где I,] — номера переменных в корреляционной матрице; к — номер компо­ненты; М — количество компонент; а — компонентные нагрузки. Так, вос­становленная корреляция между переменными 3 и 5:

/■₃₅= 0,75-0,78 + 0,41-0,30+ (-0,06)0,52 + (-0,51)0,18 + (-0,01)0,05 = 0,58.

Заметим, что диагональный элемент корреляционной матрицы, как кор­реляция признака с самим собой (г =/), равен сумме квадратов всех компо­нентных нагрузок данной переменной — по строке, то есть 1.

Исследователь может воспользоваться анализом главных компонент как упрощенным вариантом факторного анализа. Тогда он выберет не все компо­ненты, а только главные, объясняющие большую часть дисперсии. В данном случае главными будут первые две компоненты, объясняющие 81% суммар­ной дисперсии переменных.

Переход к главным компонентам позволяет ввести еще одно важное поня­тие факторного анализа. Общность (СоттипаИгу) — часть дисперсии перемен­ной, объясняемая главными компонентами (факторами), вычисляется как сумма квадратов нагрузок по строке:

(16.4)

где / — номер переменной, к — номер (главной) компоненты. Например, если по таблице 16.3 выделяются две главные компоненты, то общность переменной 1: к? = 0,77² + (-0,58)² = 0,93, а общность переменной 4: /г₄² = 0,68² + 0,53² = 0,74. То есть первые две компоненты исчерпывают 93% дисперсии переменой 1 и 74% дисперсии переменной 4.

Восстановленные только по главным компонентам коэффициенты корреля­ции (по формуле 16.3) будут меньше исходных по абсолютной величине, а на ди­агонали восстановленной корреляционной матрицы будут не 1, а величины общ­ностей.

Анализ главных компонент в «чистом виде» используется для решения од­ной из ключевых проблем факторного анализа — проблемы числа факторов.

Принцип выделения «главных факторов» в факторном анализе тот же, что и при анализе главных компонент. Но в отличие от компонентного анализа факторный анализ направлен на объяснение корреляций между переменны­ми, а не только компонент дисперсии.

Факторная структура (Расюг Зпиаиге Магпх) — основной результат приме­нения факторного анализа. Элементы факторной структуры — факторные на­грузки (РасХог ЬоасНщз) переменных а_1к, аналогичные компонентным нагруз­кам (см. табл. 16.3). Однако основное требование их получения, в отличие от анализа главных компонент, — максимально полное отражение исходных коэф­фициентов корреляции. Поэтому оснонное уравнение факторного анализа:

К = А-А'при условии Л—> К,

где К — исходная матрица интеркорреляций; К — матрица восстановленных коэффициентов корреляции; А — матрица факторных нагрузок размерностью, столбцы которой — факторные нагрузки /^переменных по Мфакторам; А' — транспонированная матрица А. Отличие уравнения 16.5 от сходного с ним уравнения компонентного анализа (16.1) в том, что матрица факторных на­грузок А вычисляется таким образом, чтобы восстановленные коэффициенты корреляции минимально отличались от исходных корреляций.

Рассмотрим искомую факторную структуру в общем виде, как матрицу факторных нагрузок (табл. 16.4). В этой таблице Р строк, соответствующих переменным, и М столбцов — факторов. Значение а_ш — это факторная на­
грузка переменной / по фактору к. Соотношения величин в этой таблице иден­тично соотношениям в таблице компонентных нагрузок. Собственное значе­ние (ЕщетаЫе) каждого фактора Х_к, по формуле 16.2, равно сумме квадратов факторных нагрузок всех переменных по фактору к (по столбцу). Общность каждой переменной к}, в соответствии с формулой 16.4, равна сумме квадра­тов факторных нагрузок переменной / по всем факторам. Коэффициент кор­реляции между любыми двумя переменными может быть восстановлен по этой таблице, как сумма произведений факторных нагрузок по соответствующим строкам (по формуле 16.3).

Таблица 16.4

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒ Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: