Статистические распределения. Функция распределениявероятности

Пусть имеется совокупность очень большего числа N одинаковых молекул, находящихся в равновесном состоянии.

Некоторая физическая величина, характеризующая молекулу – х (например Е_колеб, Е_вращ). Эта величина может принимать различные значения . Значения дискретные. Предположим, что мы смогли измерить одновременно у всех N молекул значения величины х.

молекул имеет значение .

молекул имеет значение

….

молекул имеет значение .

– вероятность того, что величина (х имеет значение ).

. (3.1.28)

Сумма вероятностей всех возможных значений которые принимает величина х равна 1 (вероятность того что величина х примет какое либо из возможных значений).

Пусть молекулы характеризуются не одной физической величиной, а двумя (х, у – если значение одной величины не зависит от того какое значение имеет другая, то величины называются статистически независимыми).

, , (3.1.29)

где – количество молекул имеющих значение величины ; – количество молекул имеющих значение величины .

Если есть с то вероятность того, что среди этих молекул будут и молекулы имеющие значение величины :

. (3.1.30)

. (3.1.31)

. (3.1.32)

. (3.1.33)

. (3.1.34)

Теорема об умножении вероятностей

Вероятность одновременного появления статистически независимых событий равна произведению вероятностей этих событий (событием является то, что величина х имеет данное значение).

Итак, если молекул имеют значение , то сумма значений равна:

. (3.1.35)

А сумма всех значений:

. (3.1.36)

Разделив на количество молекул получим среднее значение величины х:

. (3.1.37)

Зная вероятности значений (разных) данной физической величины можно найти ее среднее значение.

Теперь рассмотрим случай, когда характеризующая молекулу величина х может принимать непрерывный ряд значений от х = а до х = b, х = - ¥, х = + ¥…

Количество значений х бесконечно, количество молекул велико, но конечно. Говорить о том, что молекул имеет значение х конкретное, (например скорость) точно заданное, не имеет смысла. В этом случае можно лишь говорить о том, какова вероятность того, что величина х принимает значение из интервала dx, причем х принадлежит этому интервалу. Или интервал расположен в окрестности значения х. Во-первых, эта вероятность пропорциональна dx. Во-вторых зависит от того, какое значение принимает х, т.е. является функцией х ().

. (3.1.38)

– называется функция распределения вероятности или плотность вероятности.

Если умножить (3.1.38) на полное число молекул, то получим количество молекул у которых значение величины х лежит в интервале dх.

. (3.1.39)

, (3.1.40)

– интеграл, взятый по всему интервалу х, т.е. сумма всех молекул равная N.

, (3.1.41)

– сумма вероятностей всех возможных значений.

. (3.1.42)

Площадь, ограниченная графиком функции распределения вероятности, равна 1.

Выражение: – дает сумму значений, х которыми обладают молекул.

А сумма значений, х которыми обладают N молекул:

. (3.1.43)

Разделив сумму всех значений на количество молекул получим значение:

. (3.1.44)

Если вместо х взять какую либо функцию от х, например, a(х), то

; (3.1.45)

; (3.1.46)

, (3.1.47)

– среднее значение квадрата физической величины.

Распределение Максвела

Или распределение молекул газа по скоростям. Состояние газа равновесное. Вводится воображаемое пространство скоростей (v- пространство) (рис. 58).

Каждой молекуле будут соответствовать свои компоненты v. Значит, каждая молекула в пространстве скоростей будет иметь точку (М-точка).

Так как газ в равновесии, то все направления движения равноправны. Расположение М-точек сферически симметрично. Далее отсюда следует, что плотность М-точек (число в единице объема v -пространства (dv_x, dv_y, dv_z)) зависит от расстояния от начала координат, т.е. от .

Если увеличить число молекул, то и плотность возрастет пропорционально N, т.е. плотность точек пропорциональна N и является функцией .

. (3.1.48)

Числомолекул компоненты скоростей которых лежат в пределах , то есть в объеме пространства скоростей будет равно:

, (3.1.49)

Их можно узнать, если известна функция .

На рис. (58) число молекул модуль, скорости которых лежат в пределах от v до v + dv, будет равно

, (3.1.50)

где – – объем шарового слоя, – плотности М-точек.

. (3.1.51)

– вероятность того, что модули скорости молекулы лежат в интервале v ¸ v+dv.

. (3.1.52)

– функция распределения вероятности значения v.

Эту функцию теоретически получил выдающийся английский физик Джеймс Клерк Максвелл (1831 - 1879) – создатель классической электродинамики.

Эта функция имеет вид:

. (3.1.53)

m – масса молекулы. Т – термодинамическая температура, k – константа Больцмана.

Коэффициент А определяется из условия:

. (3.1.54)

не может быть , а имеет предел, но т.к. F (v) ~ exр, то уже при конкретном значении она равна 0 и не вносит существенной ошибки.

Значение .

Окончательно для F (v):

, (3.1.55)

где F (v) – функция распределения Максвелла; – кинетическая энергия молекулы соответствующая данной скорости; kT – среднее значение кинетической энергии молекул (по всем N).

Значение v _вер находится из условия max функции F (v) т.е. .

. (3.1.56)

. (3.1.57)

Учитывая, что получим формулу для наиболее вероятной скорости молекул газа:

. (3.1.58)

N - число молекул, содержащихся в данной системе; r - плотность вещества.

Средняя квадратичная скорости молекул газа:

. (3.1.59)

Средняя арифметическая скорость молекул газа

. (3.1.60)

Количество молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v + dv.

dN_v = NdP_v = NF(v)dv = . (3.1.61)

Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.

На рис. 59 представлены распределения для двух значений температуры (m₁>m₂, T₁<T₂).

Согласно формулам (3.1.58-61) v _вер: < v >: v _ср.кв.=1:1,13:1,22.

Из этого соотношения видно < v > на 13% больше v _вер; v _ср.кв> v _вер на 22%.

Если: учесть v ² = , v = , то получим распределение молекул по энергиям.

. (3.1.62)

Барометрическая формула

Молекулы газа, находящиеся в поле тяготения, участвуют в тепловом движении и испытывают действие силы тяжести.

Атмосферное давление на какой- либо высоте h обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Пусть p – давление на высоте h, p +Δ p – на высоте h +Δ h (рис. 60). Причём dh > 0, dh <0 так как на большой высоте давление меньше. Разность давления p –(p + dp) равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой dh, p = ρ qh, r медленно убывает с высотой.

p –(p + dp) = ρ qdh, (3.1.63)

ρ - плотность газа на высоте h, тогда

(3.1.64)

где р ₀ – давление на высоте h = 0.

Это барометрическая формула. Из формулы следует, что р убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура. На больших высотах концентрация Не и Н₂ гораздо больше чем у поверхности Земли. На рис. 61 изображены две кривые, которые можно трактовать либо как соответствующие разным μ (при одинаковой Т) либо как отвечающие разным Т при одинаковых μ, то есть чем тяжелее газ (> μ) и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.

Распределение Больцмана

Используя основное уравнение МКТ р = nkT, заменим p и p ₀ в барометрической формуле на n и n ₀. Получим

(3.1.65)

где n ₀ - число молекул в единице объёма на высоте h = 0, n – число молекул в единице объёма на высоте h.

Так как μ = mN _А, R = N _А k, то

(3.1.66)

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля убывает. При Т = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mqh – это потенциальная энергия, то на разных высотах W_n = mqh – различно.

Выражение (3.1.66) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии и называется

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: