Функция распределенияБольцмана

. (3.1.67)

Здесь n ₀ – число молекул в единице объёма в том месте, где W_n =0. Пусть – доля молекул, обладающих именно таким значением потенциальной энергии W_n при данной температуре, тогда – отношение концентраций молекул в точках с W_{п 1} и W_{п 2}.

Больцман доказал, что соотношение (3.1.67) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Оба распределения можно объёдинить в один закон –

Законраспределения Максвелла-Больцмана, согласно которому число молекул в единице объёма, скорости которых лежат в пределах от υ до υ + d υ, равно

(3.1.68)

3.1.7 Понятие о статистических ансамблях*

В выражения распределений Максвелла и Больцманавходят экспоненциальные зависимости – в одном случае от кинетической энергии: , в другом – от потенциальной энергии частиц: . Одинаковый вид зависимостей – экспоненциальный – не является случайным, а есть следствие более общих фундаментальных законов, описывающих состояния макроскопических систем.

Если макроскопическая система состоит из N частиц (молекул, атомов, 1 электронов и т. п.), то ее состояние, с микроскопической точки зрения, будет описываться 3 N значениями координат (х ₁, y ₁ z ₁, х ₂, у ₂, z ₂,..., х_N, y_N, z_N) и 3 N значениями проекций импульсов этих частиц на координатные оси (). Для краткости изложения обозначим совокупность всех координат и импульсов X.

Значения координат и проекций импульсов постоянно изменяются и могут рассматриваться как непрерывные случайные величины, следовательно, X также является случайной величиной. Представим себе, что соответствующие координаты частиц оказались в интервале dx ₁, dy ₁, dz ₁, dx ₂, dy ₂, dz ₂,..., dx_N, dy_N, dz_N, а соответствующие проекции импульсов в интервале . Обозначим совокупность всех интервалов координат и импульсов dX (интервал от X до X + dX). Пусть dP – вероятность того, что значения координат и проекций импульсов частиц оказались в интервале dX. Очевидно, что чем больше интервал, тем больше и вероятность dP: dP ~ dX. Кроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому

dP = f (X) dX, (3.1.69)

где f (X) – плотность вероятности, или функция распределения вероятностей.

Среднее значение X, как и среднее значение любой непрерывной случайной величины, согласно теории вероятностей находят по формуле

, (3.1.70)

где интегрирование производят по всей области существования X.

В статистической физике постулируется (принимается), что макроскопический параметр (внутренняя энергия, давление, температура и др.) есть среднее значение от соответствующей функции состояния á Y ñ, которая зависит от микропараметров X. Используя формулу (3.1.70), получаем

. (3.1.71)

Для определения функции распределения вероятностей f (X) введем понятие статистического ансамбля. Это понятие в статистической физике является одним из основных, так как позволяет применять теорию вероятностей для вычисления макроскопических параметров физических систем, таких как энергия или термодинамические потенциалы.

Представим себе совокупность очень большого числа одинаковых систем, Находящихся в одном и том же макроскопическом состоянии, которые реализуются различными микросостояниями (разным набором значений X). Совокупность таких систем называется статистическим ансамблем.

Как всякая совокупность большого числа элементов, статистический ансамбль описывается функцией распределения вероятностей f(X).

В зависимости от условий, в которых находятся системы, различают разные ансамбли. Совокупность изолированных систем с заданной энергией при постоянном объеме и постоянном числе частиц представляет собой микроканонический ансамбль; совокупность систем с постоянными температурой, объемом и числом частиц – канонический ансамбль; совокупность систем с постоянной температурой и объемом и переменным числом частиц – большой канонический ансамбль.

Функция распределениявероятностей для равновесного состояния микроканонического ансамбля называется микроканоническим распределением Гиббса. Аналогичные функции для других ансамблей называются соответственно каноническим распределением Гиббса и большим каноническим распределением Гиббса.

Рассмотрим каноническое распределение Гиббсаи его применение для вывода некоторых закономерностей.

В классической статистической физике каноническое распределение Гиббса имеет вид

. (3.1.72)

где Т – термодинамическая температура системы, k – постояннаяБольцмана, Н(Х) – функция Гамильтона (гамильтониан), представляющая зависимость полной энергии системы от координат и импульсов частиц:

. (3.1.73)

Здесь первое слагаемое – кинетическая энергия частиц, составляющих систему, а второе – потенциальная энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешними полями.

В распределении (3.1.72) Z – статистический интеграл, определяемый из условия нормировки функции f(X):

=1, (3.1.74)

откуда

, (3.1.75)

или

. (3.1.76)

Статистическийинтеграл и термодинамический потенциал - свободная энергия [ энергия Гельмгольца (F)] связаны соотношением F = - kT ln Z.

Взяв в качестве статистического ансамбля систему молекул и используя каноническое распределение Гиббса, можно получить распределения Максвелла и Больцмана. Покажем это на примере. Возьмем в качестве элемента статистического ансамбля одну молекулу. Тогда для идеального молекулярного газа во внешнем потенциальном поле каноническое распределение Гиббса(3.1.72) запишется в виде

(3.1.77))

Выражение (3.1.77) часто называют распределением Максвелла-Больцмана.

Если проинтегрировать (3.1.77) по координатам, взяв пределы интегрирования в соответствии с размерами сосуда, то после интегрирования в обеих частях уравнения из независимых переменных останутся только , , и . В итоге получим распределение Максвелла по проекциям импульсов, а, сделав замены: , и – распределение Максвелла по проекциям скоростей:

. (3.1.78)

Если проинтегрировать (3.1.77) по составляющим импульсов, взяв пределы интегрирования от -∞ до +∞, то после интегрирования в обеих частях уравнения из независимых переменных останутся только координаты х, у и z. В итоге получим распределение Больцманапо потенциальным энергиям:

. (3.1.79)

Константы C ₁ и С ₂ в обоих случаях определяются из условий конкретной задачи.

Термодинамика

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: