Кінематика обертального руху

Хай матеріальна точка рухається по колу радіусу (у напрямі від початкової точки 1 до кінцевої точки 2, при цьому радіус-вектор , проведений від центру кола до рухомої точки, за елементарний час обернеться на кут (рис.5). Кутове переміщення - це вектор, модуль якого дорівнює куту , а напрям визначається правилом правого гвинта:

якщо обертальний рух правого гвинта відповідає обертальному руху матеріальної точки, то поступальний рух правого гвинта співпадає з напрямом вектора кутового переміщення .

Кутова швидкість - це перша похідна вектора кутового переміщення за часом: . Напрями векторів і співпадають.

Довжина дуги, що лежить проти центрального кута (рис.5), дорівнює:

Лінійна швидкість при русі матеріальній точці по колу дорівнює:

або в векторному вигляді:

- це є зв’язок лінійної швидкості і кутової.

Кутовим прискоренням називається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом, або похідній другого порядку вектора кутового переміщення за часом:

.

Тангенціальна складова кутового прискорення:

и .

Нормальна складова кутового прискорення:

.

Лінійні величини: довжина шляху , пройденого точкою по дузі кола радіусу , лінійна швидкість , тангенціальне прискорення , нормальне прискорення . Кутові величини: кут повороту , кутова швидкість , кутове прискорення . У таблиці 1 наведено основні лінійні і кутові характеристики руху і зв’язок між ними.

Таблиця 1

	Лінійні величини	Кутові величини	Зв'язок між ними
	елементарне переміщення	елементарне кутове переміщення
	швидкість	кутова швидкість
	прискорення ,	кутове прискорення
	рівнозмінний рух	рівнозмінний обертальний рух

Динаміка обертального руху

Абсолютно тверде тіло - це система жорстко зв'язаних матеріальних точок. Таку ідеалізацію використовують для опису руху твердих тіл, коли деформаціями можна знехтувати. Поступальним рухом називається такий рух, при якому пряма лінія, що з’єднує довільні дві точки тіла, залишається паралельною своєму початковому напрямку.

Обертальним рухом щодо нерухомої осі називається такий рух, при якому всі точки тіла описують у паралельних площинах кола, центри яких лежать на одній прямій, яка називається віссю обертання.

Векторним добутком векторів і називається вектор , модуль якого дорівнює добутку модулів векторів і на синус кута між ними: . Напрямок визначається за правилом правого гвинта або буравчика: вектор спрямований у той бік (рис.6), в якій буде поступове рухатися вістря буравчика, якщо його рукоятку обертати найкоротшим шляхом від вектора до вектора . Вектор завжди перпендикулярний площині, у якій лежать вектора і .

рис.6

Момент сили

Для характеристики зовнішнього механічного впливу на тіло, що приводить до зміни його обертального руху, вводиться поняття моменту сили.

Моментом сили щодо нерухомої точки , називається векторний добуток радіус-вектора , проведеного з точки в точку прикладання сили на вектор сили :

Вектор спрямований перпендикулярно площині векторів і . Його напрямок збігається з напрямком поступального руху правого гвинта при його обертанні від вектора до вектора . Модуль моменту сили:

,

де - кут між векторами і (приводимо вектори до загального початку).

- плече сили. Плечем сили називається довжина перпендикуляра, опущеного з точки на лінію дії сили (рис.7).

Моментом сили щодо нерухомої осі називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю ось вектора моменту сили, визначеного щодо довільної точки на даній осі .

Рис.7. Значення моменту , не залежить від вибору положення точки на осі .

Момент імпульсу

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки

називається векторний добуток радіус-вектора матеріальної точки , проведеного з точки (рис.8), на вектор імпульсу матеріальної точки ( - швидкість матеріальної точки):

Модуль вектора моменту імпульсу:

- кут між векторами і . Напрямок вектора визначається правилом правого гвинта.

Рис.8.

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі кожна точка тіла масою рухається по колу радіуса зі швидкістю . Швидкість і імпульс перпендикулярні цьому радіусові , тобто . Радіус є плечем вектора , тому модуль моменту імпульсу матеріальної точки дорівнює:

Моментом імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі є сума моментів імпульсу матеріальних точок тіла:

Величина називається моментом інерції твердого тіла щодо нерухомої осі (нижче це поняття буде розглянуто більш детальніше).

Момент імпульсу ізотропного твердого тіла щодо нерухомої осі обертання дорівнює добутку моменту інерції щодо тієї ж осі на кутову швидкість:

Основний закон динаміки обертального руху: швидкість зміни моменту імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі обертання дорівнює сумарному моменту зовнішніх сил відносно цієї осі:

У випадку абсолютно твердого тіла момент інерції не залежить від часу, тоді основний закон динаміки обертального руху має вигляд:

Для замкнутої системи момент зовнішніх сил і , звідки впливає, що:

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: