Фізичний і математичний маятники

Фізичним маятником називають тіло, що виконує коливання під дією сили тяжіння відносно горизонтальної осі, яка не проходить через центр мас.

Нехай вісь обертання фізичного маятника проходить через точку перпендикулярно площині рисунка (рис.1).

Якщо відхилити тіло на кут і надати його самому собі, то виникає обертаючий момент, створений силою тяжіння :

⁽³⁾

де - відстань від осі обертання до центра ваги .

При невеликих кутах відхилення сила, що повертає, є квазіупружною, а коливання маятника гармонічними. Це неважко показати на основі рівняння динаміки обертального руху:

(4)

яке для фізичного маятника з врахуванням (3) має вигляд:

де - момент інерції маятника; - кутове прискорення: .

При малих кутах відхилення , тоді рівняння здобуває вигляд:

або (5)

Рівняння (5) це рівняння власних гармонічних коливань фізичного маятника. Частинний розв’язок цього диференціального рівняння є:

(6)

Із (6) отримуємо, що при малих коливаннях кутове відхилення фізичного маятника змінюється з часом за гармонічним законом.

Коефіцієнт при в рівнянні (5) є квадрат циклічної частоти власних коливань фізичного маятника: (7)

Оскільки , знаходимо, що період коливань фізичного маятника є:

(8)

Математичний маятник є частковим випадком фізичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка, яка підвішена

на невагомій і нерозтяжній нитці і здійснює коливання під дією сили тяжіння. Як видно з визначення, математичний маятник - поняття абстрактне. Однак, якщо маятник являє собою (рис.2) маленьку кульку, яка підвішена на мало розтяжній нитці довжиною , то кульку можна уподібнити матеріальній точці. Тоді момент його інерції щодо осі

і формула (8) трансформується у формулу Гюйгенса, що визначає період коливань математичного маятника:

(9)

З (9)отримаємо робочу формулу для визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника:

(10)

ЗГАСАЮЧІ КОЛИВАННЯ

У реальних фізичних системах, що здійснюють коливальний рух, завжди діють сили опору середовища (тертя в опорах, опір повітря, виникнення непружних деформацій). Повна механічна енергія коливальної системи буде зменшуватись, перетворюючись у інші види. Система втрачає енергію в кількості, яка дорівнює роботі сил опору. Оскільки енергія пропорційна до квадрату амплітуди, то амплітуда коливань також буде зменшуватися і коливання будуть вільними і згасаючими, тобто їхня амплітуда буде зменшуватися за часом. Більшість механічних коливань відбувається при невеликій швидкості коливального руху. В цьому випадку сила опору (тертя) пропорційна швидкості:

,

де - коефіцієнт опору середовища; знак мінус вказує на те, що сила опору протилежна вектору швидкості. На коливальну систему діють пружні (або квазіпружні сили) і сили опору середовища . Рівняння руху тіла, що коливається (другий закон Ньютона), має вигляд:

або (11)

Рівняння (11) - це рівняння вільних згасаючих коливань. Перепишемо рівняння (11), застосовуючи стандартні позначення:

(12)

Рішення цього однорідного диференційного рівняння другого порядку, тобто закон, за яким відбуваються згасаючі коливання, має вигляд:

(13)

Залежність наведено на рис.3. - амплітуда згасаючих коливань, вона зменшується з часом за експоненціальним законом.

- початкова амплітуда, тобто амплітуда в початковий момент часу (при );

- коефіцієнт згасання – величина зворотна - часу релаксації системи, тобто інтервалові часу, за який амплітуда коливань зменшується в "е" разів (приблизно в 2,72 рази):

- частота вільних згасаючих коливань, - частота власних коливань.

Амплітуда і частота коливань при наявності згасання зменшуються. Для характеристики швидкості згасання коливань використовується логарифмічний декремент згасання . Якщо і - амплітуда двох послідовних коливань, що відповідають моментам часу, що відрізняються на період, то відношення яке дорівнює:

називається декрементом згасання, а його натуральний логарифм – логарифмічним декрементом згасання:

(14)

Враховуючи, що ( - час релаксації), отримаємо:

Таким чином, логарифмічний декремент згасання - величина, зворотна числу коливань , що робить тіло за час релаксації, тобто за той час, за який амплітуда коливань зменшується в "е" разів.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М11 (107)

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: