Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







УРАВНЕНИЙ В ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ





Узловые уравнения

Если граф схемы состоит только из y-ветвей, то все контуры вырождаются и КК-уравнение преобразуется в узловое уравнение. При этом ПУ=П, W=Yy=Y и X = U, так что уравнение (1.129) принимает вид

(1.184)

где матрично-векторные параметры схемы — матрица проводимости Y и вектор задающих токов J — определяются выражениями

(1.185)

(1.186)

Уравнение (1.185) соответствует v = υп скалярным уравнениям, а вектор U играет роль вектора состояния и содержит v составляющих (узловых напряжений). Определив из (1.185) узловые напряжения, т. е.

(1.187)

можно найти напряжения и токи ветвей по формулам

(1.188)

(1.189)

Полученные соотношения соответствуют известному методу узловых напряжений. Он непосредственно применим к схемам, компоненты которых могут быть описаны зависимостями в форме (1.189). Такие компоненты называют y-компонентами. Их полюсные графы соответственно представляются некоторыми соединениями y-ветвей.

Пусть, например, в схеме рис. 1.27,а, граф которой вместе с выбранной системой независимых сечений показан на рис. 1.32,а, все компоненты представляются y-ветвями, т. е. двухполюсники выражены через проводимости, а транзисторы — через g-параметры (граф схемы построен в предположении, что параметры транзисторов определены в схеме с общим эмиттером). Считая также, что источник на входе задан током Iвх, а на выходе присоединено сопротивление Rн, запишем компонентные матрицу и вектор схемы:

Здесь одним штрихом отмечены g-параметры транзистора T1, а двумя штрихами — транзистора T2. Использовав найденную ранее матрицу сечений П (§ 1.3), по формуле (1.185) получим матрицу проводимости схемы

где введено обозначение

Вектор задающих токов определяется по формуле (1.186) и его компоненты могут быть записаны непосредственно как суммы задающих токов ветвей, инцидентных соответствующим сечениям (§ 1.4), т. е.



Матрицу проводимости схемы можно записать непосредственно на основе компонентных параметров из рассмотрения ее графа. Элемент Yks матрицы проводимости Y получим, если умножим компонентную матрицу Yв на k-ю строку матрицы П слева и на s-й столбец транспонированной матрицы Пt (s-ю строку матрицы П) справа, т. е.

Отсюда следует, что элемент yijкомпонентной матрицы появляется в качестве слагаемого элемента Yks матрицы проводимости схемы, если одновременно i-я ветвь инцидентна k-му сечению (πkj=0) и j-я ветвь инцидентна s-му сечению sj≠0). При этом yij входит со знаком плюс, если направления сечений и инцидентных им ветвей одинаковы, т. е. они одновременно совпадают или противоположны (πki=πsj), и со знаком минус, если эти направления различные ki=-πSj). Иначе говоря, элемент yijвписывают с соответствующими знаками на пересечении строк с номерами сечений, инцидентных i-й ветви, и столбцов с номерами сечений, инцидентных j-й ветви.

Так, в рассмотренном примере (рис. 1.32,а) проводимость G4 ветви 11 вписывают в матрицу Y на пересечении строк и столбцов с номерами 1, 2 и 5, так как ветвь 11 инцидентна сечениям с этими номерами. Сечения 1 и 2 направлены противоположно относительно рассматриваемой ветви, поэтому на пересечении первой строки и второго столбца, а также второй строки и первого столбца матрицы Y проводимость G4 нужно вписать со знаком минус. Сечения 1 и 5 направлены согласно относительно ветви 11, поэтому на пересечении первой строки и пятого столбца, а также пятой строки и первого столбца матрицы У проводимость нужно вписать со знаком плюс и т. д.

Взаимную проводимость g"21 ветвей 6 и 12 полюсного графа транзистора Т2 вписывают в матрицу Y на пересечении строки 5 со столбцами 2, 3 и 5, так как ветвь 6 инцидентна только пятому сечению, а ветвь 12 — второму, третьему и пятому сечениям.

В общем случае матрица проводимости Y несимметрична. Но для обратимых схем, компонентные матрицы Yв которых симметричны (Yв=Ytв), матрица Y также симметрична, т. е. Y≠Yt Действительно, транспонируя обе части равенства (1.185), получаем

Наиболее простой вид матрично-векторные параметры Y и J принимают в канонической системе сечений, когда сечения совпадают с вершинами и все они направлены к базисной вершине (§1.3).

 

Контурные уравнения

Если граф схемы содержит только z-ветви, то вырождаются все сечения и КК-уравнения преобразуются в контурные уравнения. При этом Pz=P, W=Zz—Z и X = 1, так что уравнение (1.129) принимает вид

где матрично-векторные параметры схемы — матрица со-противления Z и вектор задающих напряжений Е — определяются выражениями

Уравнение (1.191) соответствует σ=lυ+ n скалярным уравнениям, а вектор I играет роль вектора состояния и содержит а составляющих (контурных токов). Определив из (1.192) вектор контурных токов

можно найти затем токи и напряжения ветвей по формулам

Контурные уравнения лежат в основе известного метода контурных токов. Он непосредственно применим к схемам, компоненты которых допускают описание уравнениями в форме (1.196). Такие компоненты будем называть z-компонентами. Их полюсные графы соответственно представляют некоторое соединение z-ветвей.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.