Матрично-векторные параметры схемы в различных типах

— компонентные матрицы и вектор (для упрощенных компонентных уравнений V = 0);

— топологические матрицы преобразования, причем

Если среди независимых сечений имеются такие, которым инцидентны только z-ветви (будем называть их 2-сечениями), а среди независимых контуров такие, которым инцидентны только y-ветви (будем называть их y -контурами), то матрицы П и Р можно представить в виде:

Здесь П '_у и П'_z — субматрицы сечений для у- и z-ветвей соответственно, а П"_z— матрица z-сечений для z-ветвей. Аналогично, P' _y и Р'_z — субматрицы контуров для у- и

z-ветвей соответственно, a Р "_y — матрица y-контуров для y-ветвей. При этом

На основании соотношения (1.115) с учетом свойств топологических матриц в рассматриваемом случае имеем

откуда после перемножения матриц следуют зависимости

В соответствии с (1.119), учитывая приведенные соотношения, имеем

Подставляя значения топологических субматриц из ( 1.152 ) и (1.153) в (1.135) с учетом соотношения (1.156), получаем

Выражение (1.131) для матрицы схемы в уравнениях типа КК принимает вид

что после перемножения и сложения матриц дает

Для задающего вектора на основании (1.130) получаем выражение

Как видно из (1.159) и (1.160), матрица W содержит нулевые строки и столбцы, а вектор Qсодержит нулевые строки, соответствующие z-сечениям и y-контурам. Вследствие этого соответствующие скалярные уравнения вырождаются в нулевые тождества, а узловые напряжения, соответствующие z-сечениям, и контурные токи, соответствующие y-контурам, можно исключить из искомого вектора. Таким образом, z-сечения и y- контуры исключаются из системы координат и поэтому определяют вырожденные координаты.

Удалив из системы уравнений нулевые тождества, получаем матрично-векторные параметры схемы в виде

Уравнение схемы по форме совпадает с (1.129), но отличается тем, что вектор состояния содержит только v'<v узловых напряжений и σ'<σ контурных токов, которые соответствуют невырожденным сечениям и контурам, т. е.

Решив уравнения схемы с учетом вырожденных координат и определив вектор X, можно затем по формуле (1.165) найти вектор X'. Если требуется определить также и вектор X", то можно воспользоваться компонентным уравнением (1.88).

Заметим, что сокращения числа переменных за счет вырождения координат можно достигнуть только в уравнениях типа КК. При этом, как следует из приведенных соотношений, используются только топологические матрицы П'=[П'_yП'_z] и Р''=[Р'_yР'_z] относительно невырожденных координат. В то же время наличие вырожденных координат не снижает числа переменных в других типах уравнений. В этом легко убедиться, обратив внимание на отсутствие нулевых столбцов в матрице в и нулевых строк в матрице Θ₁, определяемых выражениями (1.157).

Появление вырожденных координат связано со способом выбора независимых сечений и контуров графа схемы. Это можно проиллюстрировать на примере графа, изображенного на рис. 1.36 ((/-ветви обозначены сплошными линиями, z-ветви — штриховыми, а вырожденные сечения и контуры — жирными линиями). При выборе независимых сечений по рис. 1.36,а получаем одно вырожденное сечение, а по рис. 1.36,6 не получаем ни одного. Совокупность независимых контуров на рис. 1.36,в не содержит вырожденных контуров, а на рис. 1.36,г имеется один вырожденный контур.

Очевидно, каждый граф с принятым разбиением на у- и z-ветви характеризуется некоторым максимально возможным числом вырожденных координат

где ν" и σ" — соответственно число вырожденных сечений и контуров.

Найдем соотношения для определения этих величин.

Пусть граф содержит l ветвей, v вершин и υ частей (на рис. 1.37,а изображен граф, для которого l =11, υ = 8

и n=1). Удалением (размыканием) z-ветвей образуем подграф, включающий только y-ветви исходного графа и будем называть его y-графом (рис. 1.37,б). Пусть он содержит l _y ветвей, υ_y вершин и п_у отдельных частей (y-граф может быть несвязным, даже если исходный граф связный, причем п_у≥п). Если рассматривать изолированные вершины y-графа как отдельные части, то все множество вершин исходного графа включается в «/-граф, т. е. υ_y=υ. Сокращая (закорачивая) все y-ветви, образуем подграф, состоящий только из z-ветвей и будем называть его z-графом (рис. 1.37,в). Он всегда связный, если связным является исходный граф, и содержит υ_z=n_y вершин (при сокращении y-ветвей каждая часть y-графа преобразуется в узел). Если исходный граф несвязный, то и z-граф будет несвязным с тем же числом отдельных частей п.

Вырожденные контуры образуют совокупность независимых контуров y-графа, число которых в соответствии с формулой (1.103)

Невырожденные контуры образуются в исходном графе схемы так, чтобы вместе с вырожденными контурами

они составляли

независимых контуров. Число невырожденных контуров

Невырожденные сечения определяются фундаментальными деревьями каждой части y-графа (фундаментальным лесом «/-графа) и их число в соответствии с (1.97)

Достроив фундаментальный вес y-графа до полного леса исходного графа, определим совокупность всех

независимых сечений, причем число вырожденных сечений

Максимальное число вырожденных координат (сечений и контуров) для графа схемы определяется соотношением

где

— число отдельных частей y-графа, образованных при удалении из исходного графа z-ветвей.

Интересно также отметить, что сумма невырожденных сечений и вырожденных контуров равна числу y-ветвей, т. е.

а сумма невырожденных контуров и вырожденных сечений — числу z-ветвей, т. е.

Для того чтобы выбрать систему координат с максимальным вырождением, необходимо построить лес y-графа и выбрать на y-графе совокупность независимых контуров (рис. 1.37,г). Лес y-графа определяет ν' невырожденных сечений, а все σ" контуров y-графа являются вырожденными. Полная система сечений и контуров образуется, как показано на рис. 1.37,е. Для рассматриваемого примера l_у=6, l_z = 5, n_у = 3, следовательно, по формулам (1.167) —(1.171) имеем:

Если пронумеровать сечения и контуры так, чтобы вырожденные координаты были обозначены последними номерами, как это указано на рис. 1.37,д и е, то матрицы сечений и контуров для рассматриваемого примера будут иметь вид

Как и следовало ожидать, субматрицы вырожденных сечений для y-ветвей и вырожденных контуров для z - ветвей оказались нулевыми.

В крайнем случае, когда граф содержит только y-ветви (1_y = 1, п_у=п), и

, т. е. все контуры вырождаются и вырожденные сечения отсутствуют. В другом крайнем случае, когда граф содержит только z-ветви (l_y=0, n_y = υ), и

, т. е. вырожденные контуры отсутствуют, а все сечения оказываются вырожденными. Очевидно, общее число вырожденных координат не может превышать их числа в одном из крайних случаев, каким бы способом ни разбивались ветви графа на у- и z-ветви. Иначе говоря, если σ>ν, т. е. l>2(υ+l), то максимально возможное число вырожденных координат не превышает о; при σ<v, т. е. при l< 2(ν+1) максимально возможное число вырожденных координат не превышает ν.

Обычно некоторые из ветвей графа являются взаимно определенными, т. е. допускают представление как y -, так и z-ветвями. Если требуется получить наибольшее число вырожденных координат, необходимо обеспечить соответствующее разбиение взаимно определенных ветвей.

Алгоритм оптимального разбиения взаимно определенных ветвей на y - и z-ветви основан на выражении (1.172), в соответствии с которым каждая новая y-ветвь увеличивает число вырожденных координат данного графа на единицу, а объединение двух частей (/-графа уменьшает величину μ на два (υ = const и n = const). Таким образом, следует относить к y-ветвям прежде всего те взаимно определенные ветви, которые не связывают отдельных частей (y-графа. Ветви, объединяющие какие-либо две части (y-графа, целесообразно относить к y-ветвям, если их число не меньше двух.

Рассмотрим оптимальное разбиение на примере графа, приведенного на рис. 1.38,а, где y-ветви показаны сплошными линиями, z-ветви — штриховыми и взаимно определенные — штрих-пунктирными. Исходный граф преобразуем к графу, содержащему только взаимно определенные ветви, сокращая y-ветви и удаляя z-ветви (рис. 1.38,б). Рассматривая полученный граф (если он несвязный, каждая часть рассматривается отдельно), относим к (y-ветвям петли и параллельно соединенные ветви, после чего их сокращаем. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в подграфе не будут устранены все петли и совокупности параллельных ветвей. Оставшиеся одиночные ветви относим к z-ветвям. В данном примере к y-ветвям отнесены ветви 1, 2, 3, 6, 9 и 10, а к z-ветвям – 8, 12, 14 и 18 (рис. 1.38,б).

После того, как взаимно определенные ветви графа разбиты на у- и z-ветви, можно по изложенному ранее правилу образовать совокупности независимых контуров (рис. 1.38,б) и сечений (рис. 1.38,г) с включением всех вырожденных координат. При образовании системы главных сечений и контуров правило остается тем же, но при этом контуры и сечения задают некоторым деревом (или лесом) графа. Сначала образуют лес y-графа, который затем дополняют до полного дерева (или леса) за счет z-ветвей. Система главных сечений и контуров показана на рис. 1.38.д и е.

В рассмотренном примере при оптимальном разбиении ветвей образуется четыре вырожденных контура и три вырожденных сечения, следовательно, μ = 3 + 4 = 7. Если бы все взаимно определенные ветви были отнесены к y-ветвям, т. е. l_у =14, п_у=1, а также υ=10 и п=1, то в соответствии с формулой (1.171) μ = 14 + 2∙1–10–1 = 5. Если же все взаимно определенные ветви считать z-ветвями, т. е. l_y = 4 и п_y = 6, то μ = 4 + 2∙6–10–1=5.

Совпадение значений для величины μ здесь случайное;, но эти значения в обоих случаях, как и следовало ожидать, меньше, чем при оптимальном разбиении ветвей.

Заслуживает внимания частный случай, когда можно выбрать дерево графа, определяющее систему главных сечений и контуров так, чтобы оно включало только y-ветви, причем все множество y-ветвей графа входило в дерево, а все множество z-ветвей — в дополнение. Это требование можно обеспечить, если в графе отсутствуют контуры из y-ветвей и сечения, которым инцидентны только z-ветви. Сначала строят лес y-графа, а затем его дополняют до полного дерева (или леса) графа за счет взаимно определенных ветвей, которые относятся к y- ветвям. Остальные взаимно определенные ветви относятся к z-ветвям и вместе с z-ветвями графа образуют дополнение дерева.

При таком выборе фундаментального дерева вырожденные сечения и контуры отсутствуют. Узловые напряжения совпадают с напряжениями y-ветвей, а контурные токи — с токами z-ветвей, так что

В рассматриваемом случае уравнения типов KB и КК совпадают по форме, а матрицу схемы и задающий вектор можно определить по формулам (1.122) или (1.131).

т. е. в рассматриваемом случае в обращается в единичную матрицу и θ = π. По формулам (1.130) с учетом полученных значений Θ и Θ₁ получаем

Удобство этой системы координат состоит в предельной простоте выражений для матрично-векторных параметров. Формирование матрицы W сводится к суммированию матриц Vи Θ₁, а вектор Q равен вектору F с обратным знаком.

Необходимого обобщения рассмотренной системы координат достигают, вводя в контуры, состоящие только из y-ветвей, короткозамкнутые z-ветви и дополняя сечения, которым инцидентны только z-ветви, разомкнутыми y-ветвями. Эту процедуру можно осуществлять по следующему алгоритму:

1. Исходный граф преобразовать к y-графу, удаляя z-ветви, и построить лес y-графа.

2. Лес y-графа достроить до полного дерева (или леса) исходного графа за счет взаимно определенных ветвей.

3. Если y-ветвей и взаимно определенных ветвей не достаточно для построения полного дерева (или леса) графа, ввести необходимое число разомкнутых y-ветвей, параллельных z-ветвям.

4. Последовательно с y-хордами ввести короткозамкнутые z-ветви, а y-хорды включить в лес y-графа.

Рассмотрим, например, граф, изображенный на рис. 1.39,а (y-ветви показаны сплошными линиями, z-ветви — штриховыми, а взаимно определенные — штрих-пунктиром). Соответствующий y-граф, изображенный на рис. 1.39,б, содержит один замкнутый контур и пять частей. Это значит, что необходимо внести одну короткозамкнутую ветвь (рис. 1.39,в) и дополнить лес y-графа до полного дерева четырьмя ветвями. Использовав три взаимно определенные ветви для построения дерева (рис. 1.39,г), убеждаемся, что полученный лес y-графа содержит две части. Отсюда следует, что для построения полного дерева необходимо ввести одну разомкнутую ветвь (рис. 1.39,д). Таким образом, исходный граф преобразован к новому, в котором добавлены две ветви и один узел. Вследствие этого число независимых сечений увеличивается на единицу и число независимых контуров также на единицу, т. е. появляются две дополнительные координаты.

Очевидно, число дополнительных контуров совпадает с числом вырожденных контуров σ", определенным формулой (1.167), а число дополнительных сечений можно

определить по формуле (1.172) для вырожденных сечений, если под n_y понимать число частей y-графа с взаимно определенными ветвями. Следовательно, общее число μ' дополнительных координат выразится формулой, совпадающей с (1.172), т.е.

Если уравнения с максимальным вырождением координат содержат l— μ переменных, то уравнения в расширенной системе координат содержат l + μ' переменных, т. е. больше на величину μ + μ'. Однако при сравнительно большом числе взаимно определенных ветвей,

что обычно бывает на практике, величина μ' мала по сравнению с l и поэтому целесообразно увеличивать число переменных, использовав простоту формирования уравнений схемы.

При использовании обобщенных компонентных уравнений

После подстановки соответствующих субматриц получим

Рассмотренная система координат объединяет все три типа уравнений, приведенных в табл. 1.2. В этом легко убедиться, подставив в соответствующие выражения для матрично-векторных параметров значения Θ = 1 и Θ₁ = —Θ^t₁ = Θ₀.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: