Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.





Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MO системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO=F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О).

Билет №5.

  1. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.
  2. Момент силы относительно оси.

Скорость точки в криволинейных координатах.

V=dr/dt=(∂r/∂q1)∙dq1/dt+(∂r/∂q2)∙dq2/dt+(∂r/∂q3)∙dq3/dt.

v=(dq1/dt)H1e1+(dq2/dt)H2e2+(dq3/dt)H3e3.

v=√(dq1/dt)²H1²+(dq2/dt)²H2²+(dq3/dt)²H3². vq1=(dq1/dt)H1, vq2=(dq2/dt)H2, vq3=(dq3/dt)H3.

Пример: 1) скорость в цилиндрической системе.

Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то

H1=1, H2=ρ, H3=1.

vρ=dρ/dt, vφ=ρdφ/dt, vz=dz/dt.

2) Движение по винтовой.

ρ=R=const, φ=kt, z=ut.

vρ=0, vφ=kR, vz=u.

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.

Mz(F)=±2SΔABC=±F∙h.

Если Mz(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.

 

Билет №6.

  1. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.
  2. Основные виды связей и их реакции.

Криволинейные координаты.



Устанавливают закон выбора 3 чисел q1, q2, q3. q1, q2, q3 – криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q1,q2,q3) (из точки О).

Возьмем точку М0 с координатами q1,q10,q20.

X=X(q1,q20,q30);

Y=Y(q1,q20,q30);

Z=Z(q1,q20,q30);

Определяют кривую (переменная только q1). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q1 (аналогично q2 и q3). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M0 в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q1], [q2], [q3].

 

H1=

Коэффициент Ламе.

e1=(∂r/∂q1)/H1.

Аналогично Н2, Н3, е2, е3.

Виды связей и их реакции.

Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

1)Гладкая поверхность – по общей нормали.

2)Нить – вдоль к точке закрепления.

3)Сферический шарнир – по любому радиусу.

4)Сферический шарнир – по любому радиусу.

5)Подпятник, подшипник – любое направление.

Дополнительно:

А) Скользящий;

Б) Внутренний.

 

Билет №7.

  1. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.
  2. Лемма о параллельном переносе силы.

Число степеней свободы твердого тела

n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела

Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.

Лемма о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.

|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то

F ~(F,F’,F”) ~ (F,F,F”) ~ (F’,M(F,F”)).

Но M(F,F”)=BAxF=MB(F).

Получаем:

F~ (F’,M(F,F”))

Ч. т. д.

 

Билет №8.

  1. Поступательное движение твердого тела. Число степеней свободы, уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.
  2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Поступательное движение.

Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе.

Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы.

Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен rB=rA+AB, AB=const. drB/dt=drA/dt+ dAB/dt=drA/dt => vB=vA, aB=aA

Связь между моментом относительно оси и относительно точки.

Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительно произвольной точки О на этой оси.

Доказательство:

Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ

MO(F)┴(OAB). Пусть угол междуMO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔOA’B’= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα.

Ч.т.д.

Билет №9.

  1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела.
  2. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре – основная теорема статики.

Вращение вокруг неподв. оси.

φ=φ(t) – угол поворота, n=1 степень свободы. Для задания вращения вокруг неподвижной оси необходимо выбрать ось, начало отсчета угла поворота и его положительное направление и задать зависимость угла поворота от времени. ω=dφ/dt – угловая скорость. ε=dω/dt= d²φ/dt² - угловое ускорение. Скорость любой точки тела, не лежащей на оси v=ωxr, ускорение a=dv/dt=(dω/dt)xr+ ωxdr/dt=εxr+ωx(ωxr), где aτ=εxr

Частные случаи: 1) ω=const – равномерное вращение (φ=φº+ωt ). 2) ε=const – равноускоренное вращение (ω=ωº+εt, φ=φº+ωt+ εt²/2)

2. Основная теорема статики (теор. Пуансо):

При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент Мо, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.

R=åFk

Lo=åMo(Fk)

Билет №10.

  1. Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.
  2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.

2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения.

Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.

1.Главный вектор R=∑Fi=const.

2.Скалярное произведение главного вектора и главного момента LOR=const=FxMx+ FyMy+FzMz.

Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:

MO1R= MOR+(O1OxR)R Þ ПрR(LO1)= ПрR(LO)=LO1R∙ ∙cos(LO1^R)= LO2Rcos(LO2^R).

LO1xRx+ LO1yRy +LO1zRz =LO2xRx +LO2yRy +LO2zRz

Приведение к простейшему виду:

1) MO=0, R¹0 à к равнодействующей, равной R, проходящей через О.

2) R=0, MO¹0 à к паре с моментом MO (независимо от О).

R¹0, MO¹0, MORàк равнодействующей, равной R, проходящей через О1: ОО1=d= |MO| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом MO лежат в одной плоскости Þ

Þ силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’.

3) MOR¹0, R¹0, MO¹0, R не перпендикулярна MO – приводится к динаме.

Доказательство: Разложим MO на 2 составляющих: M1 иM2. M2 представим в виде пары сил R’ и R”. Силы Rи R” уравновешиваются, а M1 перенесем в точку O1 (свободы).

В результате получили винт R’,M1, проходящий через точку О1.

Прямая, проходящая через точку О1 – ось динамы.

Билет №11.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.