ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

Неравенства, содержащие знак модуля.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 9Следующая ⇒

1º. При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, используется определение модуля, что приводит к рассмотрению двух случаев:

а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x);

б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x).

2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:

1) неравенство вида |f(x)| < a (или |f(x)| ≤ a), где a > 0, равносильно двойному неравенству –a < f(x) < a (или –a ≤ f(x) ≤ a);

2) неравенство вида |f(x)| > b (или |f(x)| ≥ b), где b > 0, равносильно совокупности двух неравенств .

3º. Для решения неравенств вида |f(x)| > |g(x)| используют метод возведения в квадрат обеих частей неравенства:

Пример 13. Решить неравенство .

Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство, равносильное данному: . Преобразовав последнее неравенство, получим , откуда находим: x ≤ - 2, x ≥ 0.

Ответ: .

4º. Для решения неравенств вида часто применяют «метод промежутков». Находят ОДЗ неравенства, затем находят корни совокупности уравнений .

Эти корни разбивают ОДЗ на некоторое число промежутков. На каждом промежутке |f_i(x)|=f_i(x) или | f_i(x)|=-f_i(x), i=1,2,…,n. Поэтому на каждом из них данное неравенство заменяется на другое неравенство, уже не содержащее знаков модуля и равносильное данному неравенству на этом промежутке. Затем решают полученные неравенства (каждое на своем промежутке). Объединение всех найденных решений дает решение исходного неравенства.

Пример 14. Решить неравенство .

Решение:

Решение первой системы: ; второй: ; третьей: . Объединяя, получим .

Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y₀, для каждого из которых найдется число x₀ такое, что f(x₀)=y₀.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток , где n – наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функци й:

Пример 15. Найти множество значений функции , если x≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0 и, следовательно, задана на множестве .

Рассмотрим x<0, тогда |x|=-x и функция принимает вид . Так как для x<0, то . Таким образом, на промежутке функция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то |x|=x и функция имеет вид . Так как для , то .

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. .

19. При каких x точки графика функции лежат выше прямой ?

20. При каких x точки графика лежат не ниже точек графика функции ?

Найти множество значений функции:

21. , если ; 22. , если .

Тема №6.

Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n -ую степень: ;

в) учитывая, что , получают уравнение и решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .