Квадратичная функция, ее график.

1º. Функция, заданная формулой , где x, y – переменные, a, b, c – действительные числа, причем а ≠ 0, называется квадратичной.

2º. Графиком функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

.

Если квадратичную функцию путем выделения полного квадрата привести к виду , то точка (x₀; y₀) – вершина параболы.

График квадратичной функции получается из графика функции с помощью параллельного переноса.

3º. Если коэффициент a > 0, ветви параболы направлены вверх, если a < 0 – вниз.

При парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, при D=0 – в одной (т.е. касается оси Ох), при D<0 - парабола не пересекает ось абсцисс.

Пример 3. Построим график функции .

Выполним следующие преобразования (называемые «выделением полного квадрата»):

График функции получается из графика функции параллельным переносом на 2 единицы влево и на две единицы вниз.

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

1º. Модуль (абсолютная величина) числа а определяется следующим образом:

.

Геометрический смысл модуля: | a | есть расстояние от точки числовой оси, изображающей данное число а, до начала отсчета - точки О, а | x-a | есть расстояние между точками числовой оси, соответствующими числам х и а.

2º. Уравнения вида можно решать геометрически.

Рассмотрим аналитические способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, на примерах.

При решении уравнений важно уметь в соответствии с определением модуля освободиться от вертикальных скобок.

Например, , если a ≥ 5;

, если a < 5.

Пример 4. Решим уравнение , используя определение модуля числа.

Решение: Уравнение имеет решение, если x +1≥0, т.е. x ≥-1.

.

Условие x ≥-1 выполняется в обоих случаях.

Ответ: 4; 2/3.

Пример 5. Решим уравнение , используя свойство модулей («модули противоположных чисел равны»).

Решение:

.

1) |2 x +1|=7 => 2 x +1=7 или 2 x +1=-7 => x =3 или x =-4

2) |2 x +1|-3=-4 => |2 x +1|=-1 – нет решений.

Ответ: 3; -4.

Пример 6. Решим уравнение , рассматривая решения на интервалах.

Решение: Найдем нули модулей, т.е. такие значения x, при которых и : .

Рассмотрим уравнение на интервалах (-∞; -2), [-2; -1), [-1; +∞).

а) Для уравнение примет вид:

-(x +1)-(x +2)=2; - x -1- x -2=2; -2 x =5; x =-2,5; => x =-2,5 – корень уравнения.

б) Для уравнение примет вид:

-(x +1)+(x +2)=2; - x -1+ x +2=2; 0· x =1- нет корней.

в) Для уравнение примет вид:

x +1+ x +2=2; 2 x =-1; x =-0,5; => x =-0,5 – корень уравнения.

Ответ: -2,5; -0,5.

Дидактический материал.

Решите уравнения, сводящиеся к линейным:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. .

Решите квадратные уравнения:

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. .

Разложите на линейные множители:

17. ; 18. ; 19. ;

20. ; 21. .

Сократите дроби:

22. ; 23. ; 24. ;

25. ; 26. ; 27. .

Упростите выражение:

28. ; 29. .

Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения:

30. ; 31. ;

32. ; 33. ;

34. ; 35. ;

36. .

Найдите расстояние от вершины параболы до точки М:

37. ; 38. ;

39. ; 39. .

Постройте график функции:

40. ; 41. ; 42. ;

43. ; 44. ; 45. ;

46. ; 47. ; 48. ;

49. ; 50. ; 51. .

52. По графику квадратичной функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:

Найдите рациональные корни уравнения:

53. ; 54. ; 55. ;

56. ; 57. ; 58. ;

59. ; 60. ; 61. .

Решите уравнения:

62. ; 63. ; 64. ;

65. ; 66. ; 67. ;

68. ; 69. ;

70. ; 71. ; 72. .

Тема №3.

Степени и корни.

Степень с целым показателем.

1º. Степенью числа а () с целым показателем n называется число , определяемое следующим образом:

1) если n = 0, а ≠ 0: ;

2) если : ;

3) если а ≠ 0: .

При этом число а называется основанием степени, а число n – показателем степени. 2º. Степень с целым показателем удовлетворяет следующим свойствам:

Арифметический корень. Степень с рациональным показателем.

1º. Арифметическим корнем k-ой степени () из числа а ≥ 0 называется неотрицательное число b, k -ая степень которого равна а:

2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального числа n действуют правила:

в частности .

3º. Свойства арифметических корней. Пусть . Тогда:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

4º. Степенью числа a с рациональным показателем определяется равенством:

Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с целым показателем.

Пример 7. Упростить выражение: .

Решение. Используя определение степени и ее свойства, получим:

Формулы сокращенного умножения.

1º. Во всякого рода алгебраических преобразованиях используются формулы сокращенного умножения:

; ;

; ;

;

; .

Так, если а ≥ 0, b ≥ 0, то .

Или .

Пример 8. Вычислить .

Решение:

Ответ: 4.

Дидактический материал.

Вычислите:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. .

Внесите множители под знак общего корня:

16. ; 17. ; 18. .

Упростите выражения:

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. ;

26. ;

27. .

Ответы: 19. ; 20. x + 4; 21. 0,5; 22. -1; 23. ; 24. 1; 25. 3; 26. x – y;

27. .

Тема №4.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: