|
Квадратичная функция, ее график.1º. Функция, заданная формулой , где x, y – переменные, a, b, c – действительные числа, причем а ≠ 0, называется квадратичной. 2º. Графиком функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы. Координаты вершины параболы определяются по формулам: . Если квадратичную функцию путем выделения полного квадрата привести к виду , то точка (x0; y0) – вершина параболы. График квадратичной функции получается из графика функции с помощью параллельного переноса. 3º. Если коэффициент a > 0, ветви параболы направлены вверх, если a < 0 – вниз. При парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, при D=0 – в одной (т.е. касается оси Ох), при D<0 - парабола не пересекает ось абсцисс. Пример 3. Построим график функции . Выполним следующие преобразования (называемые «выделением полного квадрата»): График функции получается из графика функции параллельным переносом на 2 единицы влево и на две единицы вниз.
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 1º. Модуль (абсолютная величина) числа а определяется следующим образом: . Геометрический смысл модуля: | a | есть расстояние от точки числовой оси, изображающей данное число а, до начала отсчета - точки О, а | x-a | есть расстояние между точками числовой оси, соответствующими числам х и а. 2º. Уравнения вида можно решать геометрически. Рассмотрим аналитические способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, на примерах. При решении уравнений важно уметь в соответствии с определением модуля освободиться от вертикальных скобок. Например, , если a ≥ 5; , если a < 5. Пример 4. Решим уравнение , используя определение модуля числа. Решение: Уравнение имеет решение, если x +1≥0, т.е. x ≥-1. . Условие x ≥-1 выполняется в обоих случаях. Ответ: 4; 2/3. Пример 5. Решим уравнение , используя свойство модулей («модули противоположных чисел равны»). Решение: . 1) |2 x +1|=7 => 2 x +1=7 или 2 x +1=-7 => x =3 или x =-4 2) |2 x +1|-3=-4 => |2 x +1|=-1 – нет решений. Ответ: 3; -4. Пример 6. Решим уравнение , рассматривая решения на интервалах. Решение: Найдем нули модулей, т.е. такие значения x, при которых и : . Рассмотрим уравнение на интервалах (-∞; -2), [-2; -1), [-1; +∞). а) Для уравнение примет вид: -(x +1)-(x +2)=2; - x -1- x -2=2; -2 x =5; x =-2,5; => x =-2,5 – корень уравнения. б) Для уравнение примет вид: -(x +1)+(x +2)=2; - x -1+ x +2=2; 0· x =1- нет корней. в) Для уравнение примет вид: x +1+ x +2=2; 2 x =-1; x =-0,5; => x =-0,5 – корень уравнения. Ответ: -2,5; -0,5.
Дидактический материал. Решите уравнения, сводящиеся к линейным: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;
8. ; 9. ; 10. ; 11. . Решите квадратные уравнения: 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. . Разложите на линейные множители: 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. . Сократите дроби: 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. . Упростите выражение: 28. ; 29. . Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения: 30. ; 31. ; 32. ; 33. ; 34. ; 35. ; 36. . Найдите расстояние от вершины параболы до точки М: 37. ; 38. ; 39. ; 39. . Постройте график функции: 40. ; 41. ; 42. ; 43. ; 44. ; 45. ; 46. ; 47. ; 48. ; 49. ; 50. ; 51. . 52. По графику квадратичной функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:
Найдите рациональные корни уравнения: 53. ; 54. ; 55. ; 56. ; 57. ; 58. ; 59. ; 60. ; 61. . Решите уравнения: 62. ; 63. ; 64. ; 65. ; 66. ; 67. ; 68. ; 69. ; 70. ; 71. ; 72. .
Тема №3. Степени и корни.
Степень с целым показателем. 1º. Степенью числа а () с целым показателем n называется число , определяемое следующим образом: 1) если n = 0, а ≠ 0: ; 2) если : ; 3) если а ≠ 0: . При этом число а называется основанием степени, а число n – показателем степени. 2º. Степень с целым показателем удовлетворяет следующим свойствам: Арифметический корень. Степень с рациональным показателем. 1º. Арифметическим корнем k-ой степени () из числа а ≥ 0 называется неотрицательное число b, k -ая степень которого равна а: 2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального числа n действуют правила: в частности . 3º. Свойства арифметических корней. Пусть . Тогда: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . 4º. Степенью числа a с рациональным показателем определяется равенством:
Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с целым показателем. Пример 7. Упростить выражение: . Решение. Используя определение степени и ее свойства, получим: Формулы сокращенного умножения. 1º. Во всякого рода алгебраических преобразованиях используются формулы сокращенного умножения: ; ; ; ; ; ; . Так, если а ≥ 0, b ≥ 0, то . Или . Пример 8. Вычислить . Решение: Ответ: 4.
Дидактический материал. Вычислите: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. . Внесите множители под знак общего корня: 16. ; 17. ; 18. . Упростите выражения: 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. . Ответы: 19. ; 20. x + 4; 21. 0,5; 22. -1; 23. ; 24. 1; 25. 3; 26. x – y; 27. .
Тема №4. Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|