Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями.

1º. Обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., записанную без знаменателя, называют десятичной дробью.

Например, ; ; .

2º. Правила арифметических действий над десятичными дробями:

a) При сложении (вычитании) десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая под запятой и сложить (вычесть) их как натуральные числа, не забыв поставить в результате запятую под запятыми.

b) Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Если цифр в полученном произведении недостаточно, то приписывают слева нули.

Например, .

c) При делении десятичной дроби на натуральное число надо разделить это число, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Например, .

d) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а потом выполнить деление на натуральное число. Если в делимом меньше десятичных знаков, чем в делителе, то справа приписывают необходимое количество нулей.

Например, .

e) При умножении (делении) десятичной дроби на 10,100, 1000 и т.д. достаточно перенести запятую вправо (влево) на столько цифр, сколько нулей во множителе (делителе).

Например, ; .

3º. При выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями нужно учитывать рациональность выбора: иногда лучше действия выполнить в - обыкновенных дробях, а в других случаях – в десятичных.

a) Любую обыкновенную дробь можно обратить в десятичную (конечную или бесконечную периодическую), разделив числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.

Например, ; .

b) Чтобы обратить конечную десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой.

Например, .

c) Чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например, ; .

Дидактический материал.

Найдите значение выражения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ; 17) ;

18) ; 19) ;

20) .

Найти Х из пропорции:

21) ;

22) ;

23) ;

24) .

Ответы: 1) 84,075; 2) 1; 3) 6; 4) 8; 5) 20; 6) 32; 7) 1; 8) 2; 9) 4; 10) 2; 11) 3; 12) 3; 13) 0,5; 14) 3; 15) 1; 16) 3; 17) 5; 18) ; 19) 1; 20) 9; 21) 1; 22) 5; 23) 25; 24) 5.

Процент. Основные задачи на проценты.

1º. Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Следовательно, само число составляет 100 процентов. Слово «процент» заменяют знаком %, т.е. .

2º. При решении основных задач на проценты (нахождение процентов данного числа; нахождение числа по его процентам) некоторая величина b принимается за 100 %, а ее часть – величина a – принимается за p % и составляется пропорция

.

Из этой пропорции по двум известным величинам определяют искомую третью величину, пользуясь основным свойством пропорции: b · p = 100 · a.

Пример 2. Сколько процентов числа 7 составляет разность между ним и 4 % числа 28?

Решение.

Найдем 4 % от числа 28. Чтобы найти проценты от числа, надо перевести проценты в десятичную дробь и умножить данное число на эту дробь. Это будет: 28 · 0,04 = 1,12.

Определим разность 7 – 1,12 = 5,88. Найдем, сколько процентов числа 7 составляет 5,88. Для этого составим пропорцию:

число 7 – 100 %,

число 5,88 – x %.

Отсюда .

3º. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%, т.е. вычислить .

4º. При нахождении суммы вклада в банк используют формулу простых процентов или формулу сложных процентов.

Простой процентный рост: , где S – начальная сумма вклада, p - число процентов годовых, n – срок вклада, - величина вклада через n лет.

Сложный процентный рост: .

Дидактический материал.

1) Найдите:

а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25.

2) Найдите число, если:

а) 40% его равны 12; б) 1,25 % его равны 55; в) 0,8% его равны 1,84; г) % его равны .

3) Найти, сколько процентов составляет:

а) число 15,57 от числа 90; б) число 150 от числа 120; в) число 0,3 от 1,9

4) Число, % которого составляют , равно:

а) 0,672 б) 400 в) 672 г) 500 д) 472

5) Число, % которого составляет , равно:

а) 762 б) 580 в) 140 г) 350 д) 7,62

6) Сколько процентов числа 3 составляет разность между ним и 3% числа 20?

7) 18% числа 10 равны 15% числа с. Найти с.

8) После увеличения числа на 17% получили 108,81. Исходное число равно:

а) 93,05 б) 93 в) 94 г) 92 д) 92,86

9) Некоторое число уменьшили на 14%, получив в результате 95. Это число с точностью до 0,01 равно:

а) 110,46 б) 110,44 в) 109,59 г) 110,50 д) 110,47

10) Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 2% вклада. Вкладчик внес в банк 15000 руб. Какой станет сумма через 2 года?

11) По долгосрочному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма присоединяется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 20000 руб., который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

12) Вкладчику на положенные в банк деньги через год начислили проценты в размере 15 тыс.рублей. Не взяв их, а добавив еще 85 тыс.рублей, он оставил все деньги еще на год под те же проценты. По истечении второго срока вклад вместе с процентными начислениями составил 275 тыс.рублей. Сколько тысяч рублей было положено в банк первоначально? (При решении задачи следует учесть, что процентная ставка банка не может превышать 100% годовых).

13) Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов он добавляет на свой счет 5000 рублей. В результате через три года его вклад составил 29860 рублей. Какова была сумма первоначального вклада?

14) Производительность труда второй бригады на 20% больше, чем первой бригады, а производительность труда третьей бригады на 25% меньше, чем второй. На сколько процентов производительность труда третьей бригады меньше, чем первой?

15) Владелец магазина дважды за год повышал центы на товары в среднем на 10%. На сколько процентов повысилась цена на товары за год?

16) Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 10%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год?

17) Два спиртовых раствора борной кислоты одинаковой массы слили в один сосуд. Раствор какой концентрации получили в результате, если первый раствор был пятипроцентным (5% борной кислоты и 95% спирта), а второй – однопроцентный?

18) Сколько мл воды нужно добавить к 500 мл 96%-ного раствора спирта (96% спирта, 4% воды), чтобы получить 40%-ный раствор спирта?

19) Из сосуда, полностью заполненного 12%-ным раствором соли, отлили 1л и налили 1л воды. После этого в сосуде оказался 9%-ный раствор соли. Сколько литров вмещает сосуд?

20) В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на иностранных языках. Французские – 75% английских, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?

21) Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 44 кг свежих?

Ответы: 6) 80%; 7) 12; 10) 15660; 11) 15606; 12) 150; 13) 10000; 14) 10; 15) 21; 16) 19; 17) 3; 18) 700; 19) 4; 20) 500; 21) 5.

Тема №2.

Уравнения. Модуль числа.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: