|
Преобразование тригонометрических выражений.
1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0). Радиус OA называют начальным радиусом. При повороте начального радиуса на угол α около центра О точка А(1;0) перейдет в некоторую точку М(x;y). Заметим, что поворот можно осуществить по часовой стрелки (угол поворота положителен) или против часовой стрелки (угол поворота отрицателен). Косинусом угла α называется абсцисса точки М: . Синусом угла α называется ордината точки М: . Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе: . Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате: . являются тригонометрическими функциями аргумента α. 2º. Единицами измерения величины угла являются градус и радиан. Если начальный радиус окружности совершит один полный оборот, то получится угол, равный 360˚ или 2π радиан. Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: рад. Из этой формулы следует: а) ; б) ; в) ; г) ; д) и т.д. 3º. Свойства тригонометрических функций: Функции - нечетные функции: . Функция - четная: . Функции - периодические с наименьшим периодом 2π: . Функции - периодические с наименьшим периодом π: . 4º. Основное тригонометрическое тождество. Согласно теореме Пифагора (“в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы”) координаты любой точки М(x;y) единичной окружности удовлетворяют уравнению: . Отсюда: где (10.1) Из этой формулы следует: а) ; б) . 5º. Основные соотношения между тригонометрическими функциями: , (10.2) , (10.3) , (10.4) , (10.5) . (10.6) 6º. Формулы сложения аргументов: , (10.7) , (10.8) . (10.9) 7º. Формулы двойного аргумента: , (10.10) , (10.11) . (10.12) 8º. Формулы понижения степени синуса и косинуса: . (10.13)(10.14) 9º. Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение: , (10.15) , (10.16) , (10.17) . (10.18) 10º. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму: , (10.19) , (10.20) . (10.21) 11º. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. При доказательстве тождеств, решении тригонометрических уравнений и т.п. часто возникает необходимость выразить все 4 тригонометрические функции через какую-нибудь одну функцию f(x). Для этого пользуются следующими формулами: а) , (10.22) б) , (10.23) в) . (10.24) 12º. Формулы приведения. Это соотношения, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражают через тригонометрические функции угла α. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
Пример 34. Найдите , если . Решение: . По формуле (10.6) . Так как α находится в 3-ей четверти, то и, следовательно, . Ответ: . Пример 35. Вычислить значение выражения , если . Решение: Используем формулу (10.10), а затем числитель и знаменатель дроби разделим на . Тогда: Ответ: 9,25. Пример 36. Доказать тождество: . Решение: Используя формулы (10.15), (10.16), получим: . Пример 37. Вычислить , если . Решение: Выразив и через по формулам (10.22), (10.23), получим: . Ответ: ¼. Пример 38. Упростить выражение: . Решение: Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также выделим период в аргументе функций и исключим его, опираясь на свойство периодичности функций: , , , , . Получаем: Далее используем формулы приведения: . Ответ: -1. Пример 39. Найти . Решение: Воспользуемся формулой приведения и определением котангенса: . Поскольку угол находится в 4-ой четверти , то . Получаем:
. Дидактический материал. Найдите значение выражения:
Вычислите:
Упростите выражение:
Преобразуйте в произведение:
Найдите значение выражения:
Ответы: 1. 0; 2. 5,92; 3. 10; 4. 3; 5. 5,2; 6. 6; 7. 3; 8. 3; 9. 1,24; 10. -10; 11. 7/25; 12. 1; 13. 2; 14. 0; 15. 0; 16. 2; 17. -1; 18. 2; 19. -1; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. 21; 25. 24; 26. 26.
Тема №11. Тригонометрические уравнения. Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|