Принцип максимума свободы в экономике.

3.2

О возможности построения математической теории

движения социально-экономических систем. Вывод формулы Коба-Дугласа.

3.2.1 Вступление.

Планирование экономической деятельности социально-экономических систем является одной из важнейших функций управления, которая должна обеспечивать получение максимально возможной прибыли (когда речь идет об микроэкономических системах – предприятиях), или максимально возможные темпы развития экономических систем (когда мы говорим про макроэкономические системы – страна, регион, отрасль экономики). В свою очередь, планирование невозможно без прогнозирования макроэкономических параметров, коньюктуры рынка, покупательной способности населения и т. п. К сожалению, сегодня отсутствует единая теория развития экономических систем, поэтому прогнозирование, в большинстве случаев, является недостаточно точным и не удовлетворяет требованиям практики. Так, анализ причин неудач инвестиционных проектов показал, что 45% из них приходится на неточное прогнозирование спроса.

Из последних исследований по проблеме математического моделирования (и, значит, прогнозирования) следует отметить монографию Г.И. Бакнянина «Про периодическую матрицу экономических систем», в которой автор сделал попытку упорядочить экономические системы, используя понятия производственных, рыночных, потребительских потенциалов. По сути, данная работа направлена на построение экономического пространства и изучение его свойств без рассмотрения функциональных зависимостей между объектами этого пространства.

Также следует отметить работу Лошенюка «Моделирование конкурентных взаимодействий предприятий на рынке однородной продукции», в которой автор для описания движения конкурирующих экономических субъектов использует систему нелинейных дифференциальных уравнений первой степени вида

где - полиномы второй степени относительно неизвестных долей рынка j- той фирмы .

К сожалению, в данной статье нет указания на точность данных моделей и исследований по их возможному применению на практике.

По имеющимся публикациям можно сделать вывод о том, что различные экономические школы придерживаются разных точек зрения на сущность экономических процессов и, как следствие, на то, какими математическими зависимостями следует описывать движение экономических субъектов. Так, в работе В. Тимкова «Новые подходы к экономико-математическому анализу моделей межотраслевого баланса» предлагается описывать движение экономических систем с помощью уравнений Леонтьева, которые представляют собой систему линейных однородных уравнений, которые в свою очередь решаются с помощью метода дробно-линейной аппроксимации. А в работе Унковской Т.Е. «Трансмиссионный механизм монетарной политики в контексте экономического роста» при получении оптимального размера денежной массы использована формула Коба-Дугласа.

Обобщая, рассмотрим современные методы экономического прогнозирования. Их можно разделить на три большие группы:

- экономометрические методы и модели (метод наименьших квадратов, скользящего среднего, моделирование с помощью временных рядов и т.п.);

- сценический подход (теория игр, цепи Маркова, теория графов и т.д.);

- методы экспертных оценок (метод Делфи, метод мозгового штурма).

Каждый из этих трёх подходов имеет недостатки. Так, экономометрические методы не отоброжают сути экономических процессов и причины экономических явлений. Как следствие – низкая точность при долгосрочном прогнозировании. Сценический подход, основанный на использовании теории игр, хорошо отображает стохастическую природу экономических явлений, но будущее в нём – многовариантное, поэтому прогнозы, полученные с помощью этого подхода, не могут быть основой для разработки долгосрочной стратегии развития экономической системы и принятия стратегических управленческих решений. Методы экспертных оценок на сегодняшний день являются наиболее распространенными, в первую очередь, благодаря их простоте, но эти методы не дают точной количественной оценки будущих макроэкономических параметров и являются очень субъективными, математически не обоснованными.

Значит, можем сделать вывод о необходимости разработки новых математических методов экономического прогнозирования, которые дали бы возможность получить точную количественную оценку макроэкономических параметров на долгосрочный период.

Отсюда вытекает основная цель данной главы – построить общую математическую модель экономической системы в виде системы уравнений и показать возможные методы ее решения.

3.2.2.

Общая математическая модель экономической системы

Под экономической системой мы будем понимать (в пределах данной статьи) совокупность экономических субъектов, которые совершают движение в экономическом пространстве путем взаимодействия между собой. Для определения термина “экономическое пространство” заметим, что состояние какого-либо экономического субъекта в какой-либо промежуток времени можно охарактеризовать с помощью конечного количества изменяемых числовых независимых параметров, или координат экономического пространства, которые дают полную информацию о данном субъекте. Наиболее приемлемыми параметрами, которые бы полностью характеризовали состояние экономического субъекта, очевидно, являются количество денег на его расчетных счетах и кассе, а также количество товаров, которыми владеет данный субъект. Таким образом, экономическое пространство – это вся совокупность возможных значений параметров, которыми характеризуются экономические субъекты.

Введем следующие обозначения:

Yj(t) - количество денег на счетах і- того субъекта в момент времени t;

Xij(t) - количество і-того товара на складах и в незавершенном производстве j-того субъекта в момент времени t;

- вероятность приобретения і-того товара j- тым покупателем у k-того продавца;

- вероятность поступления денег за і-тий товар от j-того покупателя к k-тому продавцу.

Допуская, что количество денег на счетах и товаров на складах достаточно велико, можем сказать, что в среднем то количество денег, что получил k-й продавец от j-того покупателя как плату за і-тий товар, равняется произведению вероятности этого события на количество денег, которое есть у покупателя, то есть

(3.2.1)

А количество і-того товара, что перешло от k-того продавца к j-тому покупателю равняется произведению вероятности этого события на количество товара, которым владеет продавец:

(3.2.2)

Из (1) и (2) следует, что цена продажи Pijk i-того товара для j-того покупателя у k-того продавца равняется

(3.2.3)

Для того, чтобы выполнялось условие Yj 0, то есть расходы экономического субъекта не превышали количество денег на его счетах, необходимо, чтобы выполнялось следующее

(3.2.4)

где:

N- количество разных товаров, что циркулируют в экономической системе;

M - количество экономических субъектов.

Заметим, что - количество денег, оставшееся у k-того субъекта для выполнения экономических операций. Аналогичные выкладки можна привести для каждого товара, которым владеет субъект. То есть для того, чтобы отгрузка со склада k-того субъекта не превышала того количества товара, который там хранится, необходимо выполнения условия:

(3.2.5)

Количество і-того товара, которое осталось на складе k-того субъекта, равняется

Для того, чтобы получить возможность описать процессы изменения товарних запасов в следствии производства и потребления, введем две новые функции:

- относительное прирощение і-тых товарных запасов в результе производства их j-тым субъектом, причем количество изготовленного продукта равняется ;

- относительное сокрощение і-тых товарных запасов j-того субъекта в результате потребления, причем количество использованных товаров равняется .

Таким образом, учитывая формулы (1) и (2), мы можем записать выражения для изменения положения всех M экономических субъектов в экономическом пространстве:

(3.2.6)

где - соответственно изменение денежных средств и количество товарных запасов j-того субъекта.

Система уравнений (5) вместе с условиями (4) и (5) и условиями может быть использована для описания движения экономических субъектов в случае, когда общее количество денег на счетах является постоянной величиной, а также нам известны все функции времени .

Запишем выражение для изменения возможности получить финансовые средства для k-того субъекта в результате производства или потребления і-того товара . Очевидно, это будет вероятность приобретения і –того товара j-тым покупателем у k-того продавца, умноженная на цену товара и его количество. Суммируя по индексу j (по покупателям) получаем:

(3.2.7)

Используя формулу (3) можна записать

(3.2.8)

Обозначим:

(3.2.9)

Тогда выражение (8) перепишется в виде

(3.2.10)

Заметим, что - это деньги, которые были уплачены k-тому продавцу за і-тый товар всеми субъектами экономической системы.

Рассмотрим замкнутую экономическую систему, в которой производится продукт П путем использования капитала K и труда L. Изменение возможности получить средства для такой системы будет иметь вид:

(3.2.11)

где:

- деньги, которые были получены за продукт П;

и - соответственно деньги, что были потрачены на приобритение капитала K и труда L;

- относительное изменение запасов продукта П, капитала K и труда L в следствии производства и использования данных ресурсов.

Условия замкнутости можна записать в следуещем виде:

(3.2.12)

Суть формул (12) состоит в том, что возможность получить средства для всей системы является неизменной величиной; изменение запасов ресурсов в системе происходит только в процессе производства и потребления (изменение запасов в результате торговых операций не происходит); и сумма денег, потраченных на приобретение продукта, полностью идет на покупку капитала и труда, включая также плату за предпринимательский ресурс. Таким образом, уравнение (11) можем переписать в следующем виде:

(3.2.13)

Обозначая:

(3.2.14)

и делая переход от прирощений к диференциалам d уравнение (13) перепишем в виде:

(3.2.15)

Принимая, что части капитала и труда в изготовленном продукте является постоянными величинами, и интегрируя уравнение (15) получим формулу Коба-Дугласа

(3.2.16)

где:

А - постоянная интегрирования.

Как видим, формула Коба-Дугласа может быть использована только в очень ограниченных случаях, потому что в современном мире нет замкнутых экономических систем, кроме того, части капитала и труда в конечном продукте могут быть переменными величинами.

Предпологая, что

- потенциальная энергия изготовленного продукта;

- потенциальная энергия затраченного капитала;

- потенциальная энергия использованого труда,

из (11) с учетом (12) можно сделать вывод о том, что

в замкнутой системе потенциальная энергия изготовленного продукта равняется сумме потенциальных энергий затраченных труда и капитала.

3.2.4.

Пути дальнейших исследований и выводы

Раньше было показано, что система уравнений (6) вместе с условиями (4) и (5) и условиями может быть использована для описания движения экономических субъектов в случае, когда совокупное количество денег на счетах является постоянной величиной, а также нам известны все функции времени . Но – функции пока что нам неизвестны, поэтому возникает вопрос о методах их определения. Решая эту задачу укажем, что практически все уравнения и законы, которые описывают движение физических объектов, могут быть получены с помощью минимаксных принципов, например, принцип максимума энтропии в термодинамике, минимума потенциальной энергии в механике деформированного твердого тела и другие, а в работе [1] было показано, что биологические и социально-экономические системы подчиняются принципу максимума возможности совершать движения (в широком понимании этого слова). Возможность получать деньги благодаря производству какого-либо товара – один из видов экономического движения, поэтому можем сказать, что эта возможность должна стремится к максимуму. Рассматривая условие (10) можем указать, что возможность получать деньги будет максимальной тогда, когда будут максимальными количество перечисленных денег за изготовленный продукт и абсолютное производство товаров, а относительное потребление и остатки товарной продукции на складах и в незавершенном производстве будут минимальными. Это и происходит на практике: предприятия прилагают много усилий, чтобы увеличить объемы производства и величину финансовых поступлений и уменьшить издержки и товарные запасы. То есть, наш тезис про максимизацию экономического движения подтверждается практикой. Нужно также сказать, что для использования математического аппарата поиска экстремума функционала в данном случае нужно учесть изменение возможности совершать движение в следствии торговой деятельности и в следствии потребления товаров, что являются предметом дальнейших исследований.

Вторым важнейшим направлением научного поиска может быть исследование зависимости относительного производства от ряда факторов, среди которых можно выделить объем использования труда и капитала и коньюктуру рынка (спрос). Вполне вероятно, что эту зависимость графически можно показать так:

рис.1

Как видим на диаграмме, сначала, в следствии роста спроса , пропорционально увеличивается и относительное производство , что отображает ситуацию, когда имеются незанятые ресурсы (кейсианский случай). После того момента, когда все незанятые ресурсы будут использованы (на диаграмме это точка , ), а спрос продолжает расти, относительное производство тоже будет увеличиваться, но уже меньшими темпами, что объясняется необходимостью перестраивать ресурсы, которые были задействованы для производства других товаров. После того, как в производстве данного товара будут задействованы все ресурсы, которые есть в системе (на диаграмме эта точка , ), дальнейшее увеличение спроса не будет сопровождаться ростом производства, при этом экономическая система может распадаться, как это случилось с Советским Союзом, когда большой спрос на товары повседневного использования не сопровождался ростом их производства. Вполне вероятно, что константы , , , зависят от промышленного потенциала экономической системы, уровня развития производственных отношений, ментальности населения и многих других факторов. Можем только надеяться, что нам удастся определить эти константы на основе статистических данных, потому что тогда появиться возможность расчета социально-экономической системы для того, чтобы предвидеть и не допускать негативные последствия возможных социальных потрясений.

Обратим внимание, что связывать производство со спросом несколько непривычно для экономических теорий, но – существует ли эта зависимость на практике?

Допустим, что производство товаров прямо пропорционально произведению спроса на эти товары на запасы данных товаров на складах и в незавершенном производстве. Вообще, можем сказать, что валовый внутренний продукт увеличивается пропорционально произведению средств населения и предприятий, что тратятся на его приобретение, и сумме товарно-материальных ценностей в оборотных средствах и основных средствах, то есть

(3.2.17)

где:

ВВП – валовый внутренний продукт;

ТМЦоб – запасы товарно-материальных ценностей в оборотных средствах;

ОЗ – основые средства;

Дн - доходы населения;

Інвок – инвестиции в основной капитал;

Е – экспорт;

І – импорт;

А,В – постоянные.

Статистические данные приведены в табл.1, результаты расчетов – в табл. 2.

Таб.1

Таб 2.

Данные таблицы 1 представлены в фактических ценах в миллиардах гривен, значения экспорта и импорта тоже представлены в фактических ценах в гривнах по среднему годовому курсу. Разделение годов на два интервала было сделано потому, что, начиная с 2000 года, доходы населения подсчитывались по совсем другой методике, как это видно из таблицы 1 и про что есть ссылка в [2, ст. 421].

Как видим из таблицы 2, и квадратичный коэффициент корреляции Пирсона (КВ_Пирс), и тест Фишера (ТФишера), и абсолютные значения относительной погрешности (отн. погр) указывают на существование зависимости вида (17). Более детальную проверку этой гипотезы можно будет сделать в будущем по мере накопления точных статистических данных.

Нужно также обратить внимание на то, что свободный член В в обоих случаях не равняется нулю, как это предвиделось сначала. Это можно объяснить тем, что производство товаров возможно и без начального спроса или накопленных материальных ценностей, или тем, что в последние годы Украина находится в состоянии недостатка производственных мощностей, то есть состояние нашей страны на диаграмме 1 обозначается точкой в области ІІ.

Выводы:

- разработан категориальный аппарат, который позволяет математически формализовать задачу об описании поведения экономических субъектов во времени;

- получено выражение для приращения возможности получать доход от производства продукции и условия замкнутости экономической системы;

- на основе этого получена формула Коба-Дугласа как частный случай использования разработанного категориального аппарата;

- показано, что возможность получать доход является энергетическим критерием социально-экономических систем;

- установлено линейную зависимость между относительным производством товара и спросом на него;

- сформулированы пути дальнейших исследований в направлении разработки методов описания движения экономических систем и определение их основных параметров.

Глава 4.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: