Имени Михаила Туган-Барановского

Имени Михаила Туган-Барановского

Кафедра высшей и прикладной математики

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Донецьк

ДонНУЕТ

2015

Донецкий НацИональнЫй унИверситет

ЭкономИки И торгОвлИ

Имени Михаила Туган-Барановского

Кафедра высшей и прикладной математики

Е.К. Щетинина, С.В. Скрыпник,

Е.А. Игнатова, Е.В. Саркисьянц

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УТВЕРЖДЕНО

НА ЗАСЕДАНИИ КАФЕДРЫ ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Протокол № 27 ОТ 15.04.2015 Г.

ОДОБРЕНО

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ

СОВЕТОМ ДОННУЭТ

ПРОТОКОЛ № ОТ

Донецьк

ДонНУЕТ

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171/22.172я73

М34

Рецензенти:

Т.А. Фомина – кандидат физико-математических наук, доцент

Н.Н. Ивахненко – кандидат физико-математических наук, доцент

Щетинина, Е.К.

М34 Математика для экономистов: теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/ Щетинина Е.К., Скрыпник С.В., Е.А. Игнатова, Саркисьянц Е.В. – Донецк: ДонНУЭТ, 2015. – 95с.

Учебное пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов всех форм обучения по дисциплине “Математика для экономистов: теория вероятностей и математическая статистика” в соответствии с новыми стандартами подготовки специалистов в рамках ECTS.

Пособие содержит теоретические вопросы, примеры решения типовых задач, а также индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов.

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171/22.172я73

С О Д Е Р Ж А Н И Е

В в е д е н и е

Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Тарталья, Кардана, Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Декарта в области теории азартных игр. В начале XVIII века Яковом Бернулли была открыта теорема, теперь носящая его имя, являющаяся одной из центральных теорем теории вероятностей; теорема, которую по справедливости считают началом теории вероятностей (закон больших чисел).

В России первые исследования по теории вероятностей были выполнены в середине ХIХ века. Они связаны с именами замечательных русских ученых математиков Н.И. Лобачевского (1792-1856), М.В. Остроградского (1801-1861) и В.Я. Буняковского (1804-1889). “Основания математической теории вероятностей” (1846) Буняковского имели большое значение для ознакомления русских математиков с этой теорией, так как это было первое фундаментальное руководство по теории вероятностей, изданное в России. В этой работе Буняковский, наряду с изложением самой теории вероятностей осветил вопросы ее практического применения, дал терминологию новой науки на русском языке. Это было сделано настолько удачно, что она до сих пор не подверглась существенным изменениям. Благодаря трудам Буняковского преподавание теории вероятностей в русских университетах стало намного шире и глубже, чем в зарубежных.

Во второй половине ХIХ столетия следует целый ряд блестящих открытий русских математиков. После работ выдающегося русского математика и механика П.Л. Чебышева (1821-1894) и его учеников А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А. Маркова (1856-1922) во всем мире теорию вероятностей стали называть русской наукой.

Эти замечательные традиции были продолжены и современными учеными. Работы С.Н. Бернштейна (1880-1968) оказали серьезное влияние на дальнейшее распространение теории вероятностей в нашей стране. А.Я. Хинчин (1894-1959) известен своими исследованиями в области обобщения и усиления закона больших чисел, в области так называемых стационарных случайных процессов. Решающее значение имела работа А.Н. Колмогорова “Основные понятия теории вероятностей” (1933), которая знаменовала собой начало нового исторического этапа в развитии этой науки.

Сейчас, пожалуй, нет области знания, в которой не использовались бы методы теории вероятностей. Применение вероятностно-статистических методов стало традиционным во многих науках. К ним относятся физика, геодезия, военная наука, теория измерений, медицина, лингвистика и многие другие. Кроме того на основе вероятностных методов появился целый ряд новых наук, отпочковавшихся от теории вероятностей. Это теория информации, теория надежности, статистический контроль качества, планирование эксперимента и др.

Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений с количественной их стороны.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз по иному. Например, одно и тоже тело взвешивается на аналитических весах; результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Эти различия обусловлены многими факторами, сопровождающими операцию взвешивания, таких как положение тела на чашке весов, ошибки отсчета показаний прибора, вибрация аппарата и др.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную модель. При этом из бесконечного множества факторов, влияющих на явление, выделяют самые главные.

Какие же существуют пути и методы для исследования случайных явлений? Очевидно, что должна существовать принципиальная разница в методах учета основных факторов рассматриваемого явления и второстепенных факторах, влияющих на явления в качестве погрешностей. Методы, учитывающие элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных процессах. Практика показывает, что, наблюдая однородные случайные явления, мы обнаруживаем вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости. Например, при многократном подбрасывании монеты частота появления герба приближается к 0,5.

Методы теории вероятностей по своей природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается случайным. Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз. Вероятностный или статистический метод в науке не противопоставляет себя классическому методу точных наук, а является его дополнением, позволяющем глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

I ПРОГРАММА КУРСА

1. Элементы комбинаторного анализа. Принципы умножения и сложения. Перестановки, размещения и сочетания.

2. Случайные события и их классификация. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Ограниченность классического определения вероятности. Непосредственное вычисление вероятностей при конечном числе равновозможных случаев.

3. Теоремы сложения вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.

4. Повторные независимые испытания:

4.1. Схема повторных испытаний Бернулли. Точная формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события.

4.2. Асимптотическая формула биноминального распределения (локальная теорема Лапласа). Интегральная теорема Лапласа. Следствия интегральной теоремы Лапласа.

4.3. Формула редких событий Пуассона.

5. Случайные величины и их числовые характеристики:

5.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения и многоугольник распределения вероятностей дискретной случайной величины.

5.2. Функция распределения и плотность распределения (интегральный и дифференциальный законы распределения) случайной величины. Их свойства и графики. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

5.3. Характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, их свойства.

5.4. Биномиальный закон распределения вероятностей. Закон распределения Пуассона.

5.5. Равномерное и показательное (экспоненциальное) распределения.

5.6. Нормальный закон распределения и кривая Гаусса. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.

5.7. Действия над независимыми случайными величинами. Составление законов распределения и нахождение характеристик суммы, разности, произведения независимых случайных величин.

6. Закон больших чисел.

6.1. Оценки отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Теорема Бернулли.

6.2. Неравенство и теорема Чебышева.

6.3. Понятие о теореме Ляпунова.

7. Основные сведения из математической статистики:

7.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Точечное и интервальное статистические распределения. Частоты, относительные и накопленные частоты. Графическое представление статистического распределения выборки: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

7.2. Эмпирическая функция распределения и ее график.

7.3. Характеристики статистического распределения выборки: выборочное среднее, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана.

8. Нахождение параметров распределения по выборочным данным для нормального распределения и распределения Пуассона. Понятие о критериях согласия. Критерии согласия Пирсона, Колмогорова, Ястремского.

9. Элементы теории корреляции:

9.1. Функциональная и статистическая зависимости. Условное среднее. Корреляционная зависимость признаков. Уравнение регрессии.

9.2. Метод наименьших квадратов нахождения параметров уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным.

9.3. Коэффициент корреляции.

9.4. Корреляционная таблица. Нахождение корреляционной связи между переменными в виде уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.

9.5. Простейшие случаи криволинейной корреляции. Корреляционное отношение.

9.6. Понятие о множественной корреляции.

Формула полной вероятности

Следствием теоремы сложения и умножения вероятностей являются формула полной вероятности и формулы Бейеса.

Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одной из гипотез , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события

.

Формула Бейеса

Если событие уже произошло, то переоценить вероятность каждой гипотезы можно по формуле Бейеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Произведен опыт, в результате которого появилось событие . Вероятность гипотезы при условии наступления события определяется формулой

, ,

где – полная вероятность события .

Решение.

Событие – попадание первого стрелка, событие – попадание второго стрелка.

, .

Событие – промах первого стрелка, событие – промах второго стрелка.

, .

Событие – мишень поражена, хотя бы один стрелок попал.

Событие – оба стрелка промахнулись.

.

Решение.

В урнах содержатся шары трех цветов. Варианты разных по цвету шаров могут быть такими:

Вероятность каждого из вариантов определяется по теореме умножения вероятностей независимых событий, а общая вероятность – их суммированием.

Решение.

Обозначим вероятности попадания 1-го и 2-го орудия через и , тогда вероятности противоположных событий будут и , а вероятность только одного попадания выразится соотношением:

;

,

,

,

Решение.

Событие – утюг прослужит гарантийный срок.

1. Определение гипотез:

гипотеза – утюг изготовлен первым заводом,

гипотеза – утюг изготовлен вторым заводом.

Гипотезы несовместны и образуют полную группу.

2. Определение доопытных вероятностей гипотез

; .

.

3. Определение условных вероятностей

; .

4. Определение полной вероятности

Решение.

Здесь, очевидно, нужно использовать формулу Бейеса, т.к. результат известен (шар оказался белым).

Событие – шар оказался белым.

1. Гипотеза – шар взят из первой группы урн.

Гипотеза – шар взят из второй группы урн.

Гипотеза – шар взят из третьей группы урн.

Гипотезы несовместны и образуют полную группу.

2. ; ; ; .

3. ; ; .

4. .

5. .

IV. Повторные испытания

Схема Бернулли – последовательность испытаний, удовлетворяющих условиям:

ü число испытаний фиксировано,

ü каждое из испытаний приводит к одному из двух взаимоисключающих исходов,

ü вероятности этих исходов постоянны во всех испытаниях,

ü опыты независимы.

Пусть проведено независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться с постоянной вероятностью . Вероятность ненаступления события в каждом испытании равна : . Требуется вычислить вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится ровно раз: .

Формула Бернулли

Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна, а число испытаний невелико , то вероятность того, что событие при независимых испытаниях появиться ровно раз, можно определить по формуле:

.

Вероятность того, что событие наступит

1) менее раз
2) более раз
3) не менее раз
4) не более раз

Формула Пуассона

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала , то вероятность появления события ровно раз в испытаниях определяется по приближенной формуле

, , .

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна (причем не близко к 0 и 1), то вероятность того, что событие в серии из независимых испытаний (где достаточно велико) появится ровно раз, определяется по приближенной формуле:

, ,

где – функция вероятностей, – четная функция.

Значения функции находят по таблице (приложение 1). Для всех .

Интегральная теорема Лапласа

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании не мала, то вероятность появления события в интервале от до раз определяется приближенной формулой

,

, .

Функция – нечетная. Значения функции находят по таблице (приложение 2). При .

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна. Вероятность того, что в испытаниях относительная частота появления события отклонится от вероятности не более, чем на , определяется приближенной формулой

.

Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых испытаний. Числопоявлений события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность появления события это число раз является наибольшей.

.

Если:

§ – целое число, то ,

§ – дробное число, то существует единственное число , равное целой части ,

§ – целое число, то существует два наивероятнейших числа, равные соответственно левой и правой части неравенства.

Решение.

По формуле Бернулли определим искомую вероятность

.

Решение.

По условию .

Используем формулу Пуассона.

,

.

Решение.

а) .

Событие – появление изделия высшего сорта.

.

По таблице (приложение 1) находим:

,

тогда

.

б) .

,

,

.

Значит

.

Решение.

.

.

Решение.

.

, ,

по таблице ,

, , .

Закон больших чисел

пренебрегать в одном исследовании, называется уровнем значимости. В статистике обычно рекомендуется пользоваться уровнем значимости 0,05 при предварительных исследованиях и 0,01 при окончательных выводах.

Под законом больших чисел понимается совокупность положений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, выполняются определенные соотношения.

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше разности между единицей и дробью, числитель которой – дисперсия случайной величины , а знаменатель – квадрат

.

Теорема Чебышева

Если дисперсии попарно независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной , а число их достаточно велико, то как бы ни было мало положительное число , вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий меньше по абсолютной величине , будет как угодно близка к единице

.

Другими словами, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. На теореме Чебышева основан выборочный метод в статистике, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей генеральной совокупности исследуемых объектов.

Теорема Бернулли

Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико

.

Другими словами, частость приближается при большом числе испытаний к вероятности.

Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни человека на всевозможные сроки, имущества и др.) При планировании ассортимента товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел. Сумма конечного числа независимых нормально распределенных случайных величин распределена по нормальному закону.

Нормального распределения

Для построения нормальной кривой существует два способа:

1. С помощью плотности вероятности

§ находят и ;

§ находят теоретические частоты по формуле , где - сумма частот, - разность между соседними вариантами, , ;

§ строят точки в прямоугольной системе координат и соединения их линией.

2. С помощью функции распределения

§ находят ;

§ находят теоретических частот по формуле , где ,

§ строят точки (, ) на координатной плоскости.

Пример.

Для предшествующего примера вычислить теоретический ряд частот с помощью плотности вероятности. В качестве берут середины интервалов, ,

	–7,86	–2,69	0,0107	3,66
	–5,86	–2,01	0,0529	18,12
	–3,86	–1,32	0,1669	57,16
	–1,86	–0,64	0,3251	111,34
	0,14	0,05	0,3984	136,54
	2,14	0,73	0,3056	104,66
	4,14	1,42	0,1456	49,86
	6,14	2,1	0,0440	15,07
	8,14	2,79	0,0081	2,77

Сравнение теоретического ряда частот с эмпирическим распределением указывает на точность подобранного теоретического закона распределения.

1234567Следующая ⇒ Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: