Случайные величины и их характеристики

Напомним, что случайной называют величину, которая в ре- зультате опыта может принять то или иное значение, заранее не- известное. Она может быть как дискретной, так и непрерывной. Случайная величина полностью определена с вероятностной точ- ки зрения, если известно, с какой вероятностью возможно появ- ление каждого из принимаемых случайной величиной значений. Такое соответствие называют за-

коном распределения случайной величины. В случае непрерывной величины этот закон соответству- ет интегральной функции распре-

деления

F (x) = P (x < X)

или ин-

тегральному закону распределе- ния (рис. 1.1).

Рис. 1.1

При решении прикладных вероятностных задач часто бы- вает необходимо определить вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в некотором ограни- ченном интервале, например в интервале (a, b). Условимся для определенности левый конец a включать в интервал, а правый не включать. Тогда вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b)

P (a £ X < b) = F (b) - F (a).

Плотностью распределения непрерывной случайной вели- чины называют функцию

x

f (x) = F ¢(x) при F (x) = ò

-¥

f (y) dy.

(1.1)

Устремив верхний предел к бесконечности, получим:

¥

F (x) = ò

-¥

f (y) dy = 1.

Вероятность того, что случайная величина Х находится в интервале (x 1, x 2),

x 2

P (x 1 £ X £ x 2) = ò f (y) dy.

x 1

(1.2)

Рассмотрим известный нормальный закон изменения плот- ности вероятности (закон Гаусса). Таким законом часто описы- ваются результаты измерений каких-либо величин, механиче- ские характеристики материалов, нагрузки на машины и детали машин, сроки службы деталей и т.д. Главная особенность, выде- ляющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся типич- ных условиях. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин,

PNRPU

подчиненных каким угодно законам распределения, прибли- женно подчиняется нормальному закону, если дисперсия слу- чайных величин примерно одного порядка.

Интегральная функция распределения при нормальном законе распределения определена на всей оси и имеет следующий вид:

F (x) = e

x -¥

-(x - mx)² 2s²

где m_x – математическое ожидание; σ _х – среднее квадратичное отклонение случайной величины.

(x - m)2

тогда

2 x x x xx

1 - 1

где t = x - mx.

s x

F (t) =

òe 2 dt 1,

-¥

Эта функция табулирована (прил. 4), а вероятность попада-

ния случайной величины в интервал определена следующим образом:

(х 1 £ Х £ х 2)

может быть

P (x £ X £ x) =

1 t 2

e- t 2 /2 dt,

где t 1

= x 1 - mx;

s x

1 2

s x

2p ò

Нетрудно показать, что вероятность попадания случайной величины Х на отрезок (mx, mx + 3s x) приблизительно равна 0,5. Это означает, что для нормального распределения случайной величины все рассеяние практически укладывается на учас- ток (mx ± 3s x). Полученный результат позволяет по известным

Рис. 1.2

значениям математического ожидания и среднего квадра- тичного отклонения случай- ной величины приближенно указать интервал ее возмож- ных значений (правило трех сигм) (рис. 1.2).

Функция распределения случайной величины и ее плотность вероятности являются различными формами выражения закона распределения случайной величины. Наиболее часто применяе- мые на практике законы распределения приведены в прил. 1.

Однако приведенная выше исчерпывающая характеристика не всегда может быть получена либо из-за ограниченности экс- периментальных результатов, либо из-за сложности проведения экспериментов, либо из-за большой их стоимости.

В этих случаях вместо законов распределения используют приближенное описание случайной величины, полученное с по- мощью минимального числа неслучайных характеристик, отра- жающих наиболее распространенные особенности распределе- ний, например среднее значение, относительно которого груп- пируются возможные значения случайной величины, или число, характеризующее степень разброса случайной величины около ее среднего значения.

Простейшей числовой характеристикой случайной величи- ны является ее математическое ожидание. Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание

¥

M [ X ] º mx = ò xf (x) dx.

-¥

(1.3)

Геометрический смысл математического ожидания – центр тяжести площади, ограниченной кривой плотности распределе- ния и осью абсцисс.

Для характеристики разброса значений случайной величи- ны в данной серии опытов можно взять среднее значение какой-

нибудь положительной меры отклонения случайной величины от ее среднего значения, например квадрат разности между зна- чениями случайной величины и ее средним значением. В ре- зультате получим величину, которая называется дисперсией.

Для непрерывной случайной величины дисперсия

¥

-¥

(1.4)

где

X – центрированная случайная величина,

X = X - mx.

При практических расчетах удобно использовать величину

s x =, которая называется средним квадратичным отклонени- ем. Геометрический смысл этой величины – центральный момент площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс.

Вероятность отклонения случайной величины от ее средне- го значения на некоторую величину a можно оценить, восполь- зовавшись формулой П. Чебышева:

P (X - mx

³ a £ Dx.

(1.5)

Математическое ожидание и дисперсия имеют следующие свойства:

¥ ¥

1. M [ c ] = ò cf (x) dx = c ò

-¥ -¥

¥

f (x) dx = c;

2. M [ cX ] = ò cxf (x) dx = cmx;

-¥

3. Dc

= D [ c ] =

¥

ò(c - c)2 f (x) dx = 0;

-¥

(1.6)

éæ 0 ö2ù ¥

4. Dcx

= M êç c X ÷

êè ø

ú= c 2

ú

ò(x - m)2 f (x) dx = c 2 D,

где с – константа; Х – случайная величина.

Пример 1.1. Балка (рис. 1.3), имеющая постоянную изгиб- ную жесткость EI, нагружена случайной поперечной силой q

с известными значениями математического ожидания mq

персии D_q.

и дис-

Определить математические ожидания и дисперсии макси- мального прогиба и прогиба в точке приложения силы, а также максимального нормального напряжения.

Решение. Найдем прогибы и нормальные напряжения со- гласно известным соотношениям из сопротивления материалов.

Для консоли длиной l с сосредоточенным грузом q в поперечном сечении, отстоящем на расстоянии с от опоры, эпюра изги- бающих моментов показа- на на рис. 1.3. Прогиб для какого-либо сечения опре-

Рис. 1.3 деляется по уравнению

1 é x 2

qx 2 2 x ù q æ lx 2

x 3 ö

y 1 (x) = EI ê q (l - x) 2 +

2 3 ú= EI ç2

- 6 ÷.

ë û è ø

Для сечения слева от точки приложения нагрузки (точки С) вместо l используем с. Для какого-либо сечения справа от груза изгибающий момент и кривизна равны нулю; следовательно, эта часть балки остается прямой. Угол наклона является постоян-

qc 2

ным и равным углу наклона в точке С, т.е. от точки приложения нагрузки

2 EI

. Прогиб справа

1 qc 2æ 1 ö

y 2 (x) = EI

ç x - c ÷.

Действительно, если на втором участке угол наклона по- стоянен, то

dy qc 2

2 = Þ y 2 (x) =

qc 2

x + A,

dx 2 EI 2 EI

где постоянную А определяем из условия стыковки перемеще- ний в точке С:

q æ c 3

c 3 ö

qc 3

qc 3

qc 3

Тогда:

m

c 3 m

= q; m

c 2 m

1 c ö;

y 1 (c)

3 EI

y 2 (l)

2 EI ç 3 ÷

è ø

æ c 3 ö2

æ c 2 æ

1 öö2

Dy (c) =ç3 EI ÷ Dq; Dy (l) =ç2 EI ç l -3 c ÷÷

Dq.

1 è ø 2 è

è øø

Максимальное напряжение будет в защемлении балки, по- этому:

æ c ö2

smax = W

= W Þ m smax = Wmq Þ D smax = ç W ÷

Dq,

где М – изгибающий момент; W – момент сопротивления сече- ния относительно главных осей.

Системы случайных величин

Первоначально рассмотрим наиболее простой случай – сис- тему двух случайных величин Х, Y. Совместной функцией рас- пределения двух случайных величин Х и Y называют вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < x и Y < y, т.е.:

F (x, y) = P (X < x, Y < y).

(1.7)

Двумерную плотность вероятности можно ввести по анало- гии с одномерной, а именно:

¶2 F (x, y) x y

f (x, y) = ¶ x ¶ y

при F (x, y) = òò

-¥ -¥

f (a,b) d a d b.

(1.8)

Случайные величины Х и Y называются зависимыми, если события, заключающиеся в выполнении неравенств X < x и Y < y, зависимы друг от друга хотя бы при одной паре значе- ний х и у. В этом случае плотности совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин выражаются через одномерные и условные плотности следующим образом:

f (x, y) = f 1 (x) f 2 (y x) = f 2 (y) f 1 (x y).

(1.9)

Случайные величины Х и Y называются независимыми, ес- ли события, заключающиеся в выполнении неравенств X < x и Y < y, независимы при любых значениях х и у. Для независи- мых случайных величин Х, Y совместная функция распределе- ния (на основании правила умножения вероятностей независи- мых событий)

F (x, y) = P (X < x) P (Y < y) или F (x, y) = F 1 (x) F 2 (y),

а совместная плотность распределения

f (x, y) = f 1 (x) f 2 (y).

(1.10)

Пусть теперь одна случайная величина Y функционально связана с другой случайной величиной Х, т.е.

Y = j(X).

(1.11)

Относительно аргумента полагаем, что известна плотность

распределения

fx (x)

или его интегральная функция распреде-

ления. Тогда плотность распределения [9]

f y (y) = fx [y(y)]×y¢(y),

где y(y) = j-1 (y) = x.

(1.12)

Например, решая задачу определения напряженно-дефор- мированного состояния конструкции в линейной постановке, мы имеем линейную зависимость между параметрами состояния (напряжениями или перемещениями) и нагрузкой. Тогда, зная вероятностные характеристики нагрузки, можно найти вероят- ностные характеристики параметров состояния.

Пример 1.2. Параметр состояния u связан с параметром на- грузки q линейно:

u = K · q. (1.13)

Считая известной плотность распределения нагрузки, опре- делить плотность распределения параметра состояния.

Решение. Решая уравнение (1.13) относительно q, получим:

q = u;

K

dq = 1. Если плотность распределения нагрузки

du K

fq (q),

то согласно соотношению (1.12)

f (u) = 1 f

u K

æ u ö.

Если распределение нагрузки можно описать, например, однопараметрическим распределением Рэлея (а – параметр рас- пределения):

q æ q 2ö

fq (q) = a 2 expç- 2 a 2 ÷,

q è q ø

то распределение параметра состояния в случае линейной связи с параметром нагрузки примет вид:

u æ u 2 ö1

f u (u) = Ka 2 expç- K 2 2 a 2 ÷ K,

q è q ø

т.е. получим опять распределение Рэлея:

u æ u 2ö

f u (u) = a 2 expç- 2 a 2 ÷,

(1.14)

где au = Kaq.

u è u ø

Аналогично получаются выражения при описании других плотностей распределения при линейной связи случайных величин.

Рассмотрим теперь функцию

z = j(x, y)

двух случайных

аргументов х и у. Тогда интегральная функция распределения

F (z) = òò f (x, y) dxdy,

D

(1.15)

где f (x, y) – плотность совместного распределения вероятностей

системы случайных величин х и у; D – область плоскости (х, у).

Рассмотрим частный случай: ласть реализации, получим:

z = x - у;

тогда, учитывая об-

¥ é z + y ù ¥ é x - z ù

F (z) = òêò f (x, y) dx ú dy = òêò f (x, y) dy ú dx.

-¥êë -¥ ûú -¥ë-¥ û

Плотность распределения вероятности величины z

¥ é d

z + y

ù ¥é d

x - z ù

f (z) = F ¢(z) = òê dz ò

f (x, y) dx ú dy = òê dz ò

f (x, y) dy ú dx,

или

-¥êë -¥

ûú -¥ë -¥ û

¥ ¥

f (z) = ò f (z + y, y) dy = ò f (x, x - z) dx.

(1.16)

-¥ -¥

Если величины х и у независимы, то

¥ ¥

f (z) = ò fx (z + y) f y (y) dy = ò

fx (x) f y (x - z) dx.

(1.17)

-¥ -¥

Пусть, например, случайные величины х и у можно описать нормальным законом распределения и они независимы, т.е.

1 æ (x - m)2ö

Тогда

f (y) =

ç

è

1 æ

è

2s2 ÷

÷.

1 ¥ æ

(z + y - m)2 ö

æ(y - m)2 ö

f (z) =

òexpç-

x ÷expç- ÷ dy.

2ps x s y -¥ è

2s x ø è 2s y ø

Преобразуя выражение под интегралом, получим:

f (z) = 1

òexp(- Ay 2 + 2 B (z) y - C (z)) dy,

s2 + s2

m z - m

m 2 (z - m)2

где A =

x y;

2s2s2

B (z) =

y -

2s2

x;

2s2

C (z) =

y +

2s2

x.

2s2

x y y x y x

Воспользовавшись табличными значениями для определен- ных интегралов и преобразуя полученное соотношение, получим:

1 æ (z - m)2ö

expç- z ÷,

(1.18)

где m = m - m; s =

ç 2s2 ÷

.

z x y z

Таким образом, если случайные величины x и y можно опи- сать нормальным законом распределения, то и случайная вели-

чина z = x - у также распределена по нормальному закону.

Рассмотрим пример расчета конструкции, случайные ха- рактеристики которой описываются разными законами распре- деления.

Рис. 1.4

Пример 1.3. Консольная балка длиной l (рис. 1.4) изгибается под действием сосредоточенной на- грузки q, которая является случай- ной и характеризуется нормальным законом распределения:

1 - q 2

f (q)= e 2 (-¥ < q < ¥).

Место приложения нагрузки также случайно и определяет- ся равномерным законом:

f (x) =ì1/ l, 0 £ x £ l;

Определить закон распределения изгибного момента в за- делке, если нагрузка и координата ее приложения независимы.

Решение. Изгибной момент в заделке M = qx, следователь- но, совместный закон распределения f (q, x) = f (q) f (x). Для опре- деления закона распределения момента нужно учесть его об- ласть реализации. Для этого запишем функцию распределения момента и учтем для определения области интегрирования, что q = M / x. Тогда

М М

l x l x 1 1

- q 2

F (М) = òò f (q, x) dqdx = òò

e 2 dqdx.

0 -¥ 0 0

Плотность вероятности момента

dF (М) 1 l 1 1

- М 2

f (М) = = ò

e 2 x 2 dx.

dМ l 0

Если сделать замену: M ₁ = M / x, то

dF = dF dМ 1 =1 dF.

dМ dМ 1 dМ x dМ 1

С учетом этого при интегрировании по верхнему пределу получим:

d x

-¥

Для дальнейшего интегрирования снова сделаем замену:

t =;

2 x 2

Тогда

x =;

2 t

x =; dx =

2 ç-2 ÷ t t.

М 2

1 2 l 2 1

М М æ 1 ö dt

-¥

e- t ç- ÷ =

= - 1

2 l

М 2

2 l ²

ò

-¥

2 e- t

dt = -

2 l

1 I,

2p

где I – интегральная показательная функция (при t > 0). Полученная функция f (М) имеет вид, показан-

ный на рис. 1.5. Рис. 1.5

Таким образом, система случайных величин полностью оп- ределена, если известна совместная интегральная функция или совместная плотность распределения. Однако иногда, как уже отмечалось, бывает достаточно ограничиться их численными характеристиками.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: