Характеристичне рівняння. Корені характеристичного рівняння

Характеристичне рівняння – це алгебраїчне рівняння, яке відповідає однорідному диференційному рівнянню. Його можна одержати шляхом використання підстановки Ейлера в однорідне диференційне рівняння.

Подекуди вводять просте формальне правило запису характеристичного рівняння. Для одержання характеристичного рівняння потрібно в однорідному лінійному рівнянні замінити операцію похідної змінною величиною р в степені, рівній порядку похідної.

Рівняння (4.7) – це звичайне алгебраїчне рівняння n -го степеня. За теоремою алгебри відомо, що рівняння n -го степеня має n коренів, якщо враховувати і комплексні корені.

Розглянемо корені рівняння (4.7) і відповідні їм рішення (4.3).рівняння

Корені характеристичного рівняння (4.7) можуть бути як дійсними, так і комплексними.. Комплексні корені завжди комплексно спряжені. Розглянемо окремо можливі значення коренів і одержимо умову стійкості САК

Що таке корінь алгебраїчного рівняння, немає потреби пояснювати – це значення змінної, яке задовольняє рівнянню.

Умова стійкості САК

Нехай корінь рівняння (4.7) – дійсне число. Позначимо його літерою а.

. (4.8)

Значення його може бути меншим нуля, рівним нулю або більшим від нуля.

1-й випадок а < 0.

Якщо а < 0, то можна записати, що: а = – |a| (модулю зі знаком «–»)

Підставимо в (4.4), і матимемо розв’язок лінійного рівняння у вигляді

. (4.9)

З бігом часу t → ∞ розв’язок рівняння спадає до нуля. Графік його показано на рис.4.2.

Рис. 3.2 – Графік функції, яка відповідає розв’язку однорідного рівняння для випадку а < 0

З графіка видно, що з часом значення величин y(t) зменшується. Зменшується відхилення системи від нульового положення. Це свідчить, що система прагне до певного сталого стану, тобто система стійка.

2-й випадок а > 0.

Якщо: а < 0, то: а = |a|

Підставимо в (4.3), і матимемо розв’язок однорідного рівняння (4.3) у вигляді

. (4.10)

З бігом часу t → ∞ розв’язок рівняння збільшується. Графік функції, яка відповідає розв’язку рівняння показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3 – Графік функції, яка відповідає розв’язку однорідного рівняння для випадку а > 0

З графіка 2 видно, що з часом значення величин y(t) зростає до нескінченності. Це свідчить, що система є нестійкою. Якщо б ми розв’язували рівняння для САК керування обертами двигуна, то такий розв’язок означав би, що швидкість обертання постійно зростає. Система керування нестійка і її експлуатувати не можна, бо це приведе до поломки двигуна чи аварії.

3-й випадок а = 0.

Підставимо в (3), і матимемо:

. (4.11)

Вихідна величина залишається постійною. Графік розв’язку рівняння показано на рис. 4.4.

Рис. 4.4 – Графік функції, яка відповідає розв’язку однорідного рівняння для випадку а = 0

Тут ми маємо систему на межі стійкості. Вихідна величина залишається постійною, не збільшується і не зменшується.

Підсумовуючи отримані результати виконаного аналізу, приходимо до такого висновку:

У випадку дійсного кореня, коли корінь рівняння менше нуля, система є стійкою, коли корінь дорівнює нулю – система знаходиться на межі стійкості, а коли корінь більше нуля – система нестійка.

Перейдемо до випадку комплексних коренів. Комплексні корені завжди є комплексно спряженими. Позначимо ці корені так:

(4.12)

Розв’язки рівняння (4.3) матимуть вигляд.

(4.13)

Тобто маємо два розв’язки (13). З математики відомо, що коли y₁(t) y₂(t) – є розв’язком рівняння,то і їх сума також буде розв’язком цього рівняння:

. (4.14)

У математиці відомі формули Ейлера:

(4.15)

Використавши першу з цих формул, матимемо:

. (4.16)

Отже, розв’язком рівняння є функція, яка має діва множники: перший - це експонента аналогічна, як і в випадку дійсного кореня, другий – гармонічна функція cos(b t). Ми маємо періодичні коливання cos(b t ), амплітуда яких змінюється за законом .

Як веде себе функція ми щойно проаналізували. Якщо a < 0, то її значення з часом зменшується, якщо a > 0, то воно збільшується і при a = 0 – лишається постійним, рівним 1. На рис.4.5 – 6 як ілюстрація наведені графіки для виразу (4.16) при різних значеннях a

Рис.4.5 – Графік розв’язку однорідного рівняння у випадку комплексних коренів, коли дійсна частина додатна.

Рис.4.6 – Графік розв’язку однорідного рівняння у випадку комплексних коренів, коли дійсна частина від’ємна.

Рис.4.7 – Графік розв’язку однорідного рівняння у випадку комплексних коренів, коли дійсна частина дорівнює нулю

У результаті виконаного аналізу ми дійшли такого висновку:

У випадку комплексного кореня, коли його дійсна частина менше нуля, система є стійкою, коли дійсна частина кореня дорівнює нулю – система знаходиться на межі стійкості, а коли вона більша нуля – система нестійка.

Узагальнюючи отримані результати, можна сформулювати умову стійкості системи таким чином: САК є стійкою, коли її характеристичне рівняння має корені з від’ємною дійсною частиною.

Коли хоча б один з коренів характеристичного рівняння системи має додатну дійсну частину, то система є нестійкою, а якщо один з коренів має дійсну частину, рівну нулю, то система знаходиться на межі стійкості.

Якщо розглядати корені характеристичного рівняння як точки на комплексній площині то умова стійкості формулюється таким чином:

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: