Лінійне диференційне рівняння з постійними коефіцієнтами

Зміна протягом часу вихідної величини САК у процесі керування, тобто динаміка системи автоматичного керування, як і динаміка будь якої іншої системи, описується диференційним рівнянням. Розв’язавши рівняння за певних початкових умов, ми знатимемо, що буде відбуватись із системою протягом усього часу її роботи. На основі цих знань проектують нові САК, визначають їх поведінку в процесі експлуатації, ремонтують і вдосконалюють системи у разі потреби. Всі характеристики системи відображаються у її диференційному рівнянні. Тому розв′язання диференційних рівнянь динаміки САК є основним методом вивчення їх роботи, аналізу експлуатаційних характеристик.

Одержане рівняння динаміки САК швидкістю обертання двигуна має такий вигляд:

Завдання аналізу САК зводиться до розв’язання даного рівняння. До аналогічних рівнянь приводить розгляд інших САК. Оскільки завдання навчального предмету ТАК - навчитись аналізувати динаміку систем, то ми повинні розв’язувати такі рівняння. Запишемо рівняння у більш загальному вигляді. Позначимо вхідну величину системи як x(t), а вихідну - y(t) (див рис.4.1).

Тут числом в дужках позначено порядок похідної, а саме:

а₀, а₁, a₂... а_n; та b₀, b₁, b₂, … b_m – постійні коефіцієнти.

Це лінійне неоднорідне диференційне рівняння n- го порядку з постійними коефіцієнтами. У курсі математика ви вивчали методи вирішення таких рівнянь і нам потрібно тільки використати ці методи.

Математика – це мова природи. Всякі природні й технічні системи дають відповідь, зрозумілу на мові математики. Задаючи природі яке-небудь питання, ми завжди отримуємо відповідь, зрозумілу на мові математики. Чи ми кидаємо камінець під кутом до горизонту, чи запускаємо супутник, чи вмикаємо електричний двигун, чи будуємо Останкінську вишку – завжди результат наших дій можна передбачити, користуючись мовою математики. Робота інженера – це в першу чергу математичні розрахунки. Недаремно є поділ на інженера і техніка. Якщо завдання техніка – обслуговування технічних систем, їх ремонт, експлуатація, то завдання інженера – проектування таких систем, аналіз причин їх незадовільної роботи, розробка мір, які приведуть до бажаних результатів. І це не залежить від того, яка спеціальність інженера: електрик, механік, будівельник чи інший.

Наскільки складна мова математики? Це найпростіша мова з усіх людських мов. Єдині вимоги – це послідовність і акуратність у всіх відповідях. Вся будова математики складається з невеликої кількості цеглин. Їх потрібно досконало знати і вільно володіти ними. Закладаються вони в шкільному курсі математики. Якщо є де-небудь пропуск, щось пропущене, не зрозуміле, те що не пройшло через свідомість, то тоді виникають проблеми. Щоб проблем не було, потрібно послідовно, нічого не пропускаючи, вивчати матеріал. У навчальних посібниках матеріал викладається так, щоб не було самих маленьких незрозумілих речей.

Для опису динаміки роботи САК одержано неоднорідне лінійне диференційне рівняння з постійними коефіцієнтами. Розв’язавши його, ми одержимо всі відповіді на поведінку системи. Перш ніж приступити до розв’язання рівняння, згадаємо основні положення теорії диференційних рівнянь.

Диференційне рівняння – це рівняння, в якому встановлено знак рівності між певними функціями та їх похідними. На відміну від алгебраїчного рівняння, в якому порівнюють різні функції між собою, в диференційному рівнянні рівність встановлюється між функціями та їх похідними. Розв’язком алгебраїчного рівняння є точка на множині значень (чи ряд точок). Розв’язком диференційного рівняння є певна функція, або сукупність функцій. В ТАУ, електротехніці, механіці та інших технічних дисциплінах ця функція здебільшого є функцією часу. Розв’язок рівняння визначає поведінку системи в часі: тобто як, що і коли буде відбуватись із системою. Це не знахарство, коли гадалка скаже: буде те чи щось інше, а знання. Причому знання конкретні, точні, перевірені віковим досвідом людства. Рівняння складають на основі законів природи, число яких досить обмежене. Для електромеханічних систем це закони механіки і електротехніки, як правило, другий закон Ньютона (подекуди використовують формалізм Лапласа), закон Ома і правила Кірхгофа (у більш складних випадках деколи використовують рівняння Максвелла).

Неоднорідне диференційне рівняння – це рівняння, в якому права частина не дорівнює нулю. Права частина диференційного рівняння визначає зовнішню дію на систему. Однорідне рівняння описує динаміку системи при умові, що зовнішня дія на неї відсутня, а неоднорідне - динаміку системи, коли є певна дія на систему. Слово динаміка, думаємо, зрозуміле – це опис поведінки системи протягом часа.

Лінійне рівняння – це рівняння, в якому функція і її похідні знаходяться тільки в першій степені, тобто відсутні квадрати функцій синуси від них косинуси, чи інші перетворення функцій. Лінійні рівняння описують динаміку лінійних систем. Поняття лінійних систем ми розглядали – це системи, для яких виконується принцип суперпозиції (див. у попередньому розділі).

Постійні коефіцієнти – це коефіцієнти, які не залежать від часу.

Правило з математики: Загальним розв’язком неоднорідного диференційного рівняння є сума загального розв’язку однорідного рівняння плюс будь-який частковий розв’язок неоднорідного рівняння.

Загальний розв’язок диференційного рівняння містить n постійних інтегрування. Кількість постійних інтегрування дорівнює порядку рівняння. Порядок рівняння визначається ступенем найвищої похідної, яка входить в рівняння. Загальний розв’язок об’єднує всі можливі розв’язки рівняння. Конкретний розв’язок визначають за початковими умовами. Початкових умов повинно бути рівно стільки, скільки є постійних інтегрування, тобто їх кількість дорівнює порядку диференційного рівняння. Наприклад, з фізики розв’язували рівняння руху тіла, яке має другий порядок. Для знаходження конкретного рішення використовували дві початкові умови, як правило, значення початкового положення та швидкості в початковий момент часу.

Схема САК на рис.4.1 показує, що вхідна величина системи є x(t), а вихідна y(t). У рівнянні (4.2) в ліву частину входить тільки вихідна величина y(t) таїї похідні, а в праву вхідна величина x(t).

Розглянемо однорідне диференційне рівняння. Це є рівнянням рівняння, в якого права частина дорівнює нулю. Запишемо однорідне рівняння, яке відповідає нашому неоднорідному рівнянню (2):

Це рівняння, як видно з рис.4.1, описує процеси в системі у випадку, коли відсутні зовнішні дії на неї. Тобто однорідне рівняння описує власні коливання системи. Розв’язання однорідного лінійного рівняння зі сталими коефіцієнтами не становить труднощів. Для його вирішення використовують підстановку Ейлера, а саме:

Ця підстановка приводить розв’язання лінійного диференційного рівняння до алгебраїчного рівняння.

Зробимо підстановку. В результаті отримаємо

Для того, щоб вираз (6) був рівний нулю, потрібно, щоб нулю дорівнював множник в дужках. Приходимо до рівняння

Це звичайне алгебраїчне рівняння. У ньому р змінна величина. Розв’язавши рівняння (4.7) і підставивши розв’язок в (4.4), матимемо розв’язок однорідного диференційного рівняння (4.3).

Таким чином розв’язання однорідного диференційного рівняннями звели до розв’язання алгебраїчного рівняння (4.7). Рівняння (4.7) в математиці має назву характеристичного рівняння. У теорії диференційних рівнянь, а також в ТАК дане рівняння відіграє важливу роль. Тому більш детально зупинимось на його розгляді.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: