Передатна функція – це відношення зображення по Лапласу вихідного сигналу до вхідного при нульових початкових умовах.

Розв’язання диференційних рівнянь розглянутим тут методом називають операційним численням.

Сутність операційного числення полягає у тому, що замість розв’язання диференційного рівняння відносно функцій часу (оригіналів) переходять до алгебраїчного рівняння для зображень цих функцій, а пізніше, після вирішення алгебраїчного рівняння, знову повертаються до оригіналів. Справа в тому, що обчислення зображень є простою операцією. Для більшості вживаних функцій такі обчислення виконані й зведені в математичні таблиці перетворень Лапласа, які мають назву: „таблиці оригінал – зображення”, або більш повно таблиці функцій та їх зображень за Лапласом.

Схематично метод операційного числення, тобто метод розв’язання диференційного рівняння із застосуванням перетворення Лапласа можна представити, як показано на рис.4.10.

Рис. 4.10 – Схема розв’язання диференційного рівняння методом операційного числення

Необхідно знайти розв’язок лінійного неоднорідного диференційного рівняння. Безпосередньо розв’язати рівняння складно, на шляху розв’язання є досить важкі математичні перешкоди. Тому використовуємо обхідний шлях. Від диференційного рівняння переходимо до допоміжного рівняння, ввівши передаточну функцію системи. Потім відшукуємо зображення вихідної величини. Наступним кроком за зображенням, користуючись математичними таблицями, знаходимо розв’язок диференційного рівняння.

Порядок розв’язання диференційного рівняння в методі операційного числення такий:

1. Записати передаточну функцію, яка відповідає рівнянню.

2. Знайти зображення вхідного сигналу, користуючись правилами перетворення та математичними таблицями оригінал – зображення.

3. Відшукати зображення вихідного сигналу, перемноживши зображення вхідного сигналу на передаточну функцію.

4. Знайти оригінал вихідного сигналу, користуючись математичними таблицями оригінал – зображення.

у методі операційного числення розв’язок диференційного рівняння зводиться до алгебраїчних перетворень і відшукання зображення функції згідно з правилами і математичними таблицями.

Метод операційного числення широко використовується в ТАК, у всіх наукових дисциплінах, де є проблема розв’язання лінійних неоднорідних диференційних рівнянь.

Передаточну функцію для диференційного рівняння можна легко здійснити шляхом формальної заміни в диференційному рівнянні оператора похідної символічним оператором p. Після цього можна знайти передаточну функцію і відшукати зображення вихідного сигналу як добуток передаточної функції на зображення вхідного сигналу.

Передатна функція поряд з диференційним рівнянням однозначно характеризує систему. Знання передаточної функції тотожне знанню диференційного рівняння. Знаючи передаточну функцію, ми легко можемо записати диференційне рівняння і навпаки. Проте використання передаточних функцій набагато зручніше, тому що використання їх дозволяє замінити інтегрування диференційного рівняння вирішенням алгебраїчного рівняння.

Ще однією перевагою передаточних функцій є те, що знаючи структурну схему САК, значно легше записати передаточну функцію ніж скласти диференційне рівняння. Це ми розглянемо пізніше.

Контрольні запитання для перевірки засвоєння навчального матеріалу

1. Який стандартний вигляд диференційного рівняння прийнято в ТАК?

2. Яку умову повинна виконувати система, щоб її можна було описати лінійним диференційним рівнянням?

4. Яке диференційне рівняння називають лінійним?

6. Чим відрізняються розв’язання диференційних і алгебраїчних рівнянь?

7. Скільки коефіцієнтів інтегрування містить загальний розв’язок диференційного рівняння?

9. Яку роль відіграє характеристичне рівняння у визначенні властивостей САК?

10. Нарисуйте графік експоненціальної функції при додатному та від’ємному значенні коефіцієнта експоненти.

11. Запишіть приклад рівняння, рішення якого є комплексним числом.

12. Скільки комплексних коренів має алгебраїчне рівняння n -го порядку?

13. Які комплексні числа називають комплексно спряженими?

15. Як обрахувати корені характеристичного рівняння?

16. Як одержати характеристичне рівняння маючи диференційне рівняння системи?

18. Де розміщені корені стійкої системи на комплексній площині?

19. Які форми запису комплексного числа ви знаєте?

20. Запишіть формули Ейлера для тригонометричних функцій.

21. Яке диференційне рівняння називають однорідним?

22. За допомогою якої універсальної підстановки розв’язують однорідні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами?

23. Яке рівняння називають характеристичним?

24. Сформулюйте правило про загальний розв’язок неоднорідного диференційного рівняння.

25. Запишіть формулу інтегрування по частинах.

26. У чому полягає суть методу операційного числення?

28. Як перейти від зображення функції до оригіналу?

30. Запишіть передаточну функцію за відомим диференційним рівнянням.

31. Запишіть диференційне рівняння за відомою передаточною функцією динамічних ланок.

32. Знайдіть за допомогою математичних таблиць зображення найпростіших функцій (х = 1; х = t; x = t2; x = sin(ωt)).

33. Як записати передаточну функцію системи, для якої відоме лінійне диференційне рівняння?

34. Як розв’язати диференційне рівняння за допомогою методу операційного числення?

35. Запишіть неоднорідні диференційних рівняння динамічних ланок, права частина яких дорівнює 1 і знайдіть їх вирішення методом операційного числення.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: