|
|
Тема 2.6. Понятие о касательных напряжениях при изгибе. Линейные и угловые перемещения при изгибе, их определениеИметь представление о касательных напряжениях при изгибе, об упругой линии балки, о деформациях при изгибе и методах определения линейных и угловых перемещений. Знать один из методов определения линейных и угловых перемещений. Поперечный изгиб. Внутренние силовые факторы.Напряжения.
Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).
В поперечном сечении возникает изгибающий момент, меняющийся по длине балки, и постоянная поперечная сила Q. Рассмотрим участок балки длиной dz (рис. 33.15). Изгибающий момент, как известно, является равнодействующим элементарных моментов, возникающих в результате действия продольных сил упругости. Связь между нормальными напряжениями в точках поперечного сечения и изгибающим моментом уже рассматривалась:
Поперечная сила представляет собой равнодействующую касательных сил упругости, возникающих в поперечных сечениях (рис. 33.1 в), и связана с касательными напряжениями зависимостью
В силу парности касательных напряжений в продольных сечениях балок, параллельных нейтральному слою, возникают такие же по величине касательные напряжения (рис. 33.1 г). Появление касательных напряжений в продольных слоях балок подтверждается следующим опытом. Рассмотрим поперечный изгиб двух балок, одна — цельная, другая — составленная из нескольких положенных друг на друга слоев (рис. 33.2). Цельная балка изогнется (рис. 33.2а), брусья второй балки сдвинутся (рис. 33.2б). Каждый из брусьев деформируется независимо. В цельной балке сдвигу слоев препятствуют возникающие касательные напряжения.
На поверхности касательные напряжения равны нулю. Формула для расчета касательных напряжений для балки квадратного сечения была получена в 1855 году русским инженером Д. И. Журавским,
где Qy — поперечная сила в сечении; Sx — статический момент отсеченной части относительно оси х, Sx = Аотсус, А0ТС – площадь поперечного сечения отсеченной части (рис. 33.3); Jx — момент инерции сечения; b — ширина балки. Наибольшее значение касательного напряжения достигается на нейтральной оси:
А — площадь сечения.
Обнаруживается, что максимальные нормальные напряжения в сечении не совпадают с максимальными касательными (рис. 33.4). Для длинных балок расчет проводят только по нормальным напряжениям, т. к. касательные здесь незначительны. Для коротких балок, нагруженных значительными поперечными силами вблизи опор, проводят расчет по касательным напряжениям. Однако для тонкостенных профилей (двутавр, швеллер) необходимо проверять прочность балки в точках, где полка сочленяется со стенкой. Здесь и нормальные, и касательные напряжения значительны (рис. 33.5). Понятия о линейных и угловых перемещениях при изгибе
Под действием поперечных нагрузок продольная ось искривляется (рис. 33.6). Если материал подчиняется закону Гука, после снятия нагрузок брус выпрямляется, поэтому изогнутую ось бруса называют упругой линией. По форме упругой линии балки можно судить о перемещениях при изгибе. При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений получает вертикальное и горизонтальное перемещение, а само сечение поворачивается на некоторый угол Θ. Деформации должны иметь упругий характер, они достаточно малы. В этом случае горизонтальные перемещения сечений ничтожно малы и не учитываются. Рассматривают вертикальные перемещения центра тяжести сечения, называемые прогибами (у). Максимальные прогибы обозначают f = утаx . Для обеспечения нормальной работы устанавливаемого на балках оборудования проводят расчет на жесткость. Условие жесткости выражается неравенством
где f — максимальный расчетный прогиб балки; [ f ] — допускаемый прогиб. Иногда проверяется угол поворота сечения Θ < [Θ]. Допускаемый прогиб невелик: от 1/200 до 1/1000 пролета балки; допускаемый угол поворота 1*10-3 рад. Существует несколько методов определения перемещений сечений при изгибе. Один из них основан на дифференцировании уравнения упругой линии, более рациональный способ — использование интегралов Мора. Метод Мора — универсальный способ определения линейных и угловых перемещений в любых системах. Для облегчения расчетов на жесткость можно использовать формулы прогибов и углов поворота сечений балок для простейших случаев нагружений. Наиболее распространенные случаи нагружения и расчетные формулы приведены в таблице. При решении используем принцип независимости действия сил. Заданный случай нагружения делится на составляющие, для которых прогибы рассчитываются по известным табличным формулам, результаты расчетов суммируются. Ограничение угла поворота вводится для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников. В этом случае проверяется дополнительное условие жесткости:
Таблица 33.1. Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений балок Примеры решения задач
Пример 1. Проверить жесткость двутавровой балки (рис. 33.7). Принять
Решение Используем принцип независимости действия сил. По приведенным в таблице формулам рассчитываем прогиб балки в точке от каждого вида нагружения отдельно (рис. 33.7 (1, 2, 3)). Поскольку все действующие нагрузки прогибают балку вниз, результаты действия нагрузок можно сложить. Полученный суммарный прогиб сравним с допускаемым прогибом. Допускаемый прогиб
Суммарный прогиб
q = 4кН/ м = 4Н/мм; l = 5м = 5-103мм. Для двутавра № 45 ГОСТ 8239-89 Jx = 27696 см4 = 27,7 • 107мм4. Тогда
21,33 < 25 — условие жесткости выполняется. Максимальный прогиб не превышает допускаемого значения.
Пример 2. Определить угол поворота и прогиб свободного конца консольной балки, изображенной на рис. 2.61. Решение
Поместим начало координат на левом конце балки и составим обобщенные уравнения упругой линии и углов поворота:
Определяем начальные параметры у0 и ф0 исходя из условий опорных закреплений:
Из второго условия находим φ 0:
Знак минус перед значением угла поворота показывает, что поворот начального сечения происходит по часовой стрелке. Из второго условия находим у0:
Откуда
Знак минус перед значением прогиба показывает, что он направлен вниз, противоположно положительному направлению оси у.
Решение
Поместим начало координат на левой опоре балки и составим обобщенные уравнения упругой линии и углов поворота:
Определяем начальные параметры y0 и φ0 исходя из условия опорных закреплений:
Из первого условия находим у0 = 0. Из второго условия определяем φ0:
Откуда
Подставляя у0 и φ0 в уравнение прогибов, получаем
В середине пролета при z = 0,5 l прогиб принимает максимальное значение
Знак минус перед значением прогиба показывает, что он направлен вниз, т. е, в сторону, противоположную положительному направлению оси у.
Пример 4. Для балки, изображенной на рис. 2.62, определить прогиб под точкой приложения силы и углы поворота на опорах А и В.
Решение
Поместим начало координат на опоре A. Разобьем балку на два участка и составим обобщенные уравнения упругой линии и углов поворота для каждого из них, предварительно определив опорные реакции:
для первого участка
для второго участка
Определяем начальные параметры исходя из условий опорных закреплений:
Из первого уравнения находим у0:
Из уравнения прогибов для второго участка находим угол поворота φ 0 сечения на левой опоре:
Откуда
Подставив значение φ 0 в уравнение прогибов первого участка, получим
При z = a найдем прогиб сечения под точкой приложения силы Р:
Используя уравнение углов поворота для второго участка
найдем при z = l угол поворота сечения на правой опоре В:
Угол поворота φ В положителен, следовательно, он в отличие от угла поворота φ А направлен против часовой стрелки. При приложении силы Р посередине пролета балки, т. е. при а = b = l /2, углы поворота опорных сечений и прогиб под точкой приложения силы примут значения:
Пример 5. Определить максимальный прогиб двухопорной балки, нагруженной равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой интенсивностью q и сосредоточенной силой Р посередине пролета. Решение
Наибольший прогиб при симметричном нагружёный балки возникает посередине пролета, под точкой приложения силы Р. Этот прогиб может быть найден на основе принципа независимости действия сил как сумма прогибов от распределенной нагрузки интенсивностью q и сосредоточенной силы Р:
Составляющие части полного прогиба были вычислены в предыдущих примерах. Подставляя их значения, получаем
Оба составляющих прогиба направлены вниз и входят поэтому со знаком минус.
  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Максимальное напряжение при поперечном изгибе в полтора раза больше среднего значения
Сечение балки — двутавр № 45.
откуда 
Пример 3. Определить прогиб посередине пролета балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (см. рис. 2.51, а).
