|
|
Рациональные сечения при изгибе
Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4, вывод формулы в лекции 25) равен
Осевой момент сопротивления прямоугольника
Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32.5).
Вариант на рис. 32.5, б обладает большим сопротивлением изгибу при прочих равных условиях. Осевой момент инерции круга (рис. 32.6) равен
Осевой момент сопротивления круга
Все необходимые расчетные данные (площади, моменты инерции и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1). Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, выбирают сечения, симметричные относительно оси, вокруг которой совершается изгиб (рис. 32.7). Пример
Сравним моменты сопротивления двух сечений одинаковой площади: двутавра (рис. 32.7г) и круга (рис. 32.7а). Двутавр № 10 имеет площадь 12 см2, осевой момент инерции 198см4, момент сопротивления 39,7см3. Круг той же площади имеет диаметр момент инерции Jx = 25,12см4, момент сопротивления Wx = 6,2см3.
Сопротивление изгибу у двутавровой балки в шесть раз выше, чем у балки круглого сечения. Из этого примера можно сделать вывод: сечения прямоугольные, квадратные, круглые и ромбовидные нерациональны (рис. 32.7а, б).
Для материалов, обладающих разной прочностью при растяжении и сжатии (хрупкие материалы обладают значительно большей прочностью на сжатие, чем на растяжение), выбирают асимметричные сечения тавр, рельс и др. Расчет, на прочность при изгибе Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым. Условие прочности при изгибе:
где [ σ иJ — допускаемое напряжение. По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки. Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).
При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал. Схема нагружения и действующие нагрузки известны. По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки [Ми] = Wx [сг]. Примеры решения задач
Пример 1. Подобрать размеры сечения балки в виде двутавра. Известна схема нагружения балки (рис. 32.9), материал — сталь, допускаемое напряжение материала при изгибе Решение 1. Для защемленной балки реакции в опоре определять не следует. Проводим расчеты по характерным точкам. Размеры сечения подбираем из расчета по нормальным напряжениям. Эпюру поперечных сил строить необязательно. Определяем моменты в характерных точках. МА = 0; МВ = F 1• 4; Мв = 20 • 4 = 80 кН • м. В точке С приложен внешний момент пары, поэтому расчет проводим для левого сечения (без момента) и для правого — с моментом т.
Выбираем соответствующий масштаб по максимальному значению изгибающего момента. Опасное сечение — сечение балки, где действует максимальный момент. Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности
Основываясь на значении Wx = 500 см3 по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления Wx = 518 см3; площадь сечения А = 49,9 см2. Для сравнения рассчитаем размеры балки квадратного сечения (рис. 32.10) при том же моменте сопротивления сечения.
Сторона квадрата
Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.
Пример 2. Проверить прочность деревянной балки (рис. 2.58), если[ σ ] = 100 кгс/см2; [т] = 10кгс/см2. Решение
Максимальные изгибающий момент и поперечная сила возникают в сечении заделки.
Максимальные нормальные напряжения
т. е. прочность по нормальным напряжениям обеспечена. Максимальные касательные напряжения
следовательно, и по касательным напряжения прочность обеспечена.
Пример 3. Подобрать сечение стальной балки, изображенной на рис. 2.59, а в трех вариантах: 1) прокатный двутавр, 2) прямоугольник с отношением сторон h/b = 4/3, 3) круг. Определить отношения масс балок прямоугольного и круглого сечения к массе балки двутаврового сечения. Допускаемое напряжение [ σ ] = 160 Н/мм2. Проверить подобранные сечения по касательным напряжениям. Допускаемое касательное напряжение [т] = 96 Н/мм2.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построены на рис. 2.59, 6, в.
Подбираем сечение балки в трех вариантах: — Сечение — прокатный двутавр. По таблице ГОСТ 8239—72 подходит двутавровый профиль № 20а, его момент сопротивления Wx = 237 см3, площадь сечения F1 = 35,5 см2, — Сечение — прямоугольник с отношением сторон h/b = 4/3. Для прямоугольника Wx = bh2/ 6; подставляя сюда b = 3h/4 и приравнивая требуемому значению, получаем:
откуда
Площадь сечения F2 = 12,3*9,2 = 113 см2.
— Сечение — круг.
откуда
Площадь поперечного сечения
Отношение масс (равное отношению площадей сечений)
Следовательно, балка прямоугольного сечения тяжелее двутавровой в 3,18 раза, а балка круглого сечения — в 3,97 раза. Проверим прочность балки по касательным напряжениям. Наибольшая поперечная сила
Для двутавра № 20а из ГОСТ 8239—72 находим Jх/Sx = 172 мм, толщина стенки балки b = 0,7 см = 7 мм. Наибольшие касательные напряжения для двутавра
Для прямоугольного сечения h = 123 мм, b = 92 мм
Для круглого сечения d = 134 мм
Во всех случаях максимальные касательные напряжения оказались значительно ниже допускаемых.
Пример 4. Определить, какую наибольшую равномерно распределенную нагрузку q можно приложить к двухопорной балке пролетом l = 2 м, если ее сечение представляет круг d = 220 мм, а допускаемое напряжение [ σ ] =100 Н/мм2. Решение
Для данного случая наибольший изгибающий момент возникает посередине пролета
Определяем допускаемое значение наибольшего изгибающего момента
где
Тогда
Приравниваем вычисленное значение допускаемого изгибающего момента его значению, выраженному через нагрузку:
откуда
Решение
Момент инерции сечения вычисляем как разность моментов инерции большого и малого прямоугольников
Осевоймомент сопротивления
Допускаемый изгибающий момент определяем из расчета по наибольшим растягивающим напряжениям
то же, по наибольшим сжимающим напряжениям
Меньший из вычисленных моментов [Мр] = 58,7 тс-м определяет допускаемую нагрузку балки. Таким образом, в чугунной балке симметричного сечения допускаемая нагрузка ограничивается прочностью растянутых волокон. Чтобы для чугунной балки допускаемая нагрузка была одинакова по условиям прочности растянутых и сжатых волокон, сечение ее должно быть несимметричным относительно нейтральной оси. Расстояния от нейтральной оси до крайних волокон растянутой зоны ур и сжатой ус должны удовлетворять отношению
Этого можно добиться, в частности, применив несимметричный двутавр, у которого горизонтальная полка, находящаяся в растянутой зоне, толще, чем полка, расположенная в сжатой зоне. Контрольные вопросы и задания
1. 2. Нормальное напряжение в точке В поперечного сечения 120МПа. Определите напряжение в точке С (рис. 32.11). 3. В каком случае (рис. 32.12) балка выдержит большую нагрузку?
4. Напишите формулы для определения момента инерции и момента сопротивления для прямоугольника. Что характеризуют эти величины? Укажите единицы измерения этих величин. 5. Напишите условие прочности при изгибе. 6. Определите изгибающий момент в точке В (рис. 32.13), используя метод характерных точек.
7. Подберите размеры поперечного сечения балки в виде швеллера. Максимальный изгибающий момент 15кН-м; допускаемое напряжение материала балки 160 МПа.
ЛЕКЦИЯ 33   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Определим рациональные сечения при изгибе, для этого сравним моменты сопротивления простейших сечений.
осевой
Площадь сечения балки А = b2 = 14,52 = 210,2 см2.
Решение
Пример 5. Определить допускаемый изгибающий момент для чугунной балки, сечение которой изображено на рис. 2.60. Допускаемые напряжения на растяжение [ σ р]=300 кгс/см2, на сжатие [ σ с] = 800 кгс/см2.
Напишите формулу для определения нормального напряжения при изгибе в любой точке поперечного сечения.