|
|
Механическое истолкование производнойМгновенная скорость в механике определяется как предел отношения приращения перемещения к приращению времени Таким образом, производная перемещения по времени в механике характеризует скорость движения тела. Это есть механическое истолкование производной. Уравнение касательной Производная линейной функции y = kx + b равна угловому коэффициенту k. Производная функции y = f(x) в любой точке равна угловому коэффициенту касательной функции в этой точке, т.е. производная характеризует скорость изменения функции. Это есть геометрическое истолкование производной (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Геометрическое истолкование производной
Производная применяется для нахождения уравнения y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 : y = f¢(x0)x + b, f(x0) = f¢(x0)x0 + b, b = – f¢(x0)x0 + f(x0). В итоге получается уравнение y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 : y = f(x0) + f¢(x0)(x – x0). @ Задача 3. Найти уравнение касательной функции f(x) = x 2 в точке x0 = – 1. Решение: Находим f(x0) = (– 1) 2 = 1, потом f¢(x) = 2x и f¢ (– 1) = 2(– 1) = –2, после чего y = 1 – 2(x + 1) = – 2 x – 1. Предельный анализ Предельный анализ – это раздел экономики, где используется дифференциальное исчисление. Основные понятия предельного анализа, это предельный доход, предельные издержки, предельная производительность и т.д. Предельный доход R¢(Q) – это изменение суммарного дохода при изменении объема реализации на единицу. Предельные издержки C¢(Q) – это изменение полных издержек, при изменении объема продукции на единицу. Предельная склонность к потреблению C¢(Y) – это производная потребления по национальному доходу. Предел последовательности и его свойства Функция называется целочисленной или последовательностью, если область определения функции представляет собой множество натуральных чисел. þ Обозначения: Последовательности обозначаются как { an }, { yn }, члены последовательности как – an, yn. Число b называется пределом последовательности { yn }, если по мере возрастания n член yn неограниченно приближается к значению b:
Символ lim от латинского слово «limes» - предел; символ n ® ¥ подчеркивает, что n неограниченно возрастает («стремится к бесконечности»). ! Примеры: Члены последовательности
! Пример: Члены последовательности ! Пример: Предел постоянной величины c равен самой постоянной величине c (3). Более строгое определение предела следующее. Число b называется пределом последовательности {yn}, если абсолютная величина разности yn – b, начиная с некоторого номера N, остается меньшей любого заранее данного положительного числа e: |yn – b| < e при n ³ N (N зависит от величины e). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае, она расходящаяся. Свойства пределов 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: 2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов: 3. Предел произведения равен произведению пределов: 4. Предел отношения равен отношению пределов: Эти свойства справедливы не только для последовательностей, но и для функций y(x). @ Задача 1. Найти предел последовательности Решение: Предел последовательности находится, применяя второе свойство пределов и частные пределы (2) и (3):
Бесконечно большая величина Бесконечно большой величиной называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. ! Примеры: Величины n, n², n3 являются бесконечно большими величинами, при n ® ¥; Функция f(x) есть бесконечно большая величина при x ® a, если абсолютное значение f(x) остается большим любого заранее данного положительного числа N, всякий раз как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от N). Бесконечно большая величина не имеет предела по определению, ибо никак нельзя сказать, что «разность между f(x) и ¥ остается меньшей заранее данного положительного числа». Таким образом, введение беcконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным. Функция yn называется бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, если предел их отношения ¥. Из этого свойства вытекает следующее правило. При вычислении пределов, содержащих сумму yn и zn, где функция yn является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, функцию zn можно пренебречь по сравнению с yn. @ Задача 2. Найти предел последовательности Решение: Если непосредственной подстановкой n попытаться найти предел последовательности, то мы получим неопределенность вида
Предел функции Число b называется пределом функции f(x) при x, стремящийся к a (x ® a), если, по мере приближения x к a, значение функции неограниченно приближается (стремится) к b:
! Пример: Функция f(x) = 2x + 3 при x, стремящийся к a, f(x) стремится к 3, т.е. Более строгое определение предела следующее. Число b называется пределом функции f(x) при x ® a, если абсолютное значение разности f(x) – b остается меньшим любого заранее данного положительного числа e всякий раз, как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от e). Предполагается, что функция f(x) определена внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a (во всех точках справа и слева от a), в самой же точке x = a f(x) либо определена, либо нет. Если какая-либо функция не определена в точке x = a, но обладает пределом при x ® a, то разыскивание этого предела называется раскрытием неопределенности. Раскрытие неопределенности вида @ Задача 3. Найти предел функции Решение: Мы имеем дело с неопределенностью вида
@ Задача 4. Найти предел функции Решение: Мы имеем дело с неопределенностью типа ¥ – ¥.
Замечательные пределы Первым замечательным пределом называется предел
Вторым замечательным пределом называется предел
@ Задача 5. Найти предел функции Решение: Предел находится применением первого замечательного предела и свойств пределов:
@ Задача 6. Найти предел функции Решение: Предел находится применением второго замечательного предела:
где z = 2x. Множество применений имеют также следующие пределы
Бесконечно малая величина Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю. ! Примеры: Величины x, x², x3, sinx, 1 – cosx, tgx являются бесконечно малыми величинами, при x ® 0; величины Бесконечно малые величины обозначаются буквами a, b и т.д.   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
при D t ® 0, т.е. v = S¢(t)
. 
по мере возрастания n стремятся к нулю: y1 = 1; y2 = 0,5; y3 = 0,33¼; y4 = 0,25; ¼; y100 = 0,01; ¼; y1000 = 0,001; ¼ Следовательно, пределом последовательности является число 0:
. (1)
по мере возрастания n стремятся к нулю, поэтому 
. (2)
.
.
.
, если 
.
.
.
- при x ® 0, tgx - при x ® p/2: 
; 
; 
.
.
. Здесь термин неопределенность применяется в том смысле, что сразу невозможно сказать к какому пределу стремится последовательность. Определение предела называется раскрытием неопределенности. В данном случае неопределенность можно раскрыть с учетом вышесказанного. Так как n ² является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с n и 2, то последние члены в числителе можно пренебречь. То же самое относится и к знаменателю. Итак
.
.
.
называют разыскивание предела отношения функций f(x) и g(x), бесконечно малых величины при x ® a.
при 
.
.
при x ® ¥.
.
.
или 
.
при x ® 0.
.
при x ® 0.
,
; 
; 
.
, 
являются бесконечно малыми величинами, при n ® ¥: 
; 
; 
; 
.